Номер 65, страница 24 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

65. Параллельные отрезки А₁А₂, B₁B₂ и C₁C₂ заключены между параллельными плоскостями α и β (рис. 32).

а) Определите вид четырёхугольников А₁В₁B₂А₂, В₁С₁С₂В₂ и А₁С₁С₂А₂.

б) Докажите, что △A₁B₁C₁ = △A₂B₂C₂.

а)

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2A_2$. По условию, прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$ параллельны ($A_1A_2 \parallel B_1B_2$). Две параллельные прямые определяют плоскость. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения с плоскостью $\alpha$ — это прямая $A_1B_1$. Линия пересечения с плоскостью $\beta$ — это прямая $A_2B_2$. По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$. В четырехугольнике $A_1B_1B_2A_2$ противолежащие стороны попарно параллельны ($A_1A_2 \parallel B_1B_2$ и $A_1B_1 \parallel A_2B_2$), значит, по определению, этот четырехугольник — параллелограмм.

Аналогично рассуждая, доказываем, что четырехугольники $B_1C_1C_2B_2$ и $A_1C_1C_2A_2$ также являются параллелограммами.

• Для $B_1C_1C_2B_2$: $B_1B_2 \parallel C_1C_2$ (по условию) и $B_1C_1 \parallel B_2C_2$ (как линии пересечения плоскости $(B_1B_2C_2)$ с параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$).
• Для $A_1C_1C_2A_2$: $A_1A_2 \parallel C_1C_2$ (по условию, так как все три отрезка параллельны) и $A_1C_1 \parallel A_2C_2$ (как линии пересечения плоскости $(A_1A_2C_2)$ с параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$).

Ответ: Все три четырехугольника $A_1B_1B_2A_2$, $B_1C_1C_2B_2$ и $A_1C_1C_2A_2$ являются параллелограммами.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$. Нам нужно доказать их равенство.

Из пункта а) мы знаем, что:

• $A_1B_1B_2A_2$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, $A_1B_1 = A_2B_2$.
• $B_1C_1C_2B_2$ — параллелограмм. Следовательно, $B_1C_1 = B_2C_2$.
• $A_1C_1C_2A_2$ — параллелограмм. Следовательно, $A_1C_1 = A_2C_2$.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle A_2B_2C_2$ ($A_1B_1 = A_2B_2$, $B_1C_1 = B_2C_2$, $A_1C_1 = A_2C_2$). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle A_2B_2C_2$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle A_2B_2C_2$ доказано.