Страница 24 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

59. Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости α, проходит плоскость, параллельная плоскости α, и притом только одна.

Решение

Проведём в плоскости α две пересекающиеся прямые а и b, а через точку А проведём прямые а₁ и b₁, соответственно параллельные прямым а и b. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а₁ и b₁. Плоскость β — искомая, так как она проходит через точку А и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.

Докажем теперь, что β — единственная плоскость, проходящая через данную точку А и параллельная плоскости α. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость β, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость α (задача 58).

Данная задача представляет собой доказательство теоремы о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости. Доказательство состоит из двух логических частей: доказательство существования такой плоскости и доказательство её единственности.

Доказательство существования

Сначала докажем, что через точку $A$, не лежащую в плоскости $\alpha$, проходит плоскость, параллельная плоскости $\alpha$.

Для доказательства выполним следующие построения и рассуждения:

1. В плоскости $\alpha$ выберем две произвольные пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Пусть они пересекаются в точке $M$. Такое построение всегда возможно, так как любая плоскость содержит бесконечное множество пересекающихся прямых. Итак, имеем $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$ и $a \cap b = M$.
2. Через точку $A$, не принадлежащую плоскости $\alpha$, проведём прямую $a_1$, параллельную прямой $a$, и прямую $b_1$, параллельную прямой $b$. Согласно следствию из аксиомы параллельных прямых в пространстве, через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Итак, по построению $a_1 \parallel a$ и $b_1 \parallel b$.
3. Поскольку прямые $a_1$ и $b_1$ обе проходят через точку $A$, они пересекаются в этой точке: $a_1 \cap b_1 = A$. По аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\beta$. Таким образом, прямые $a_1$ и $b_1$ лежат в плоскости $\beta$ ($a_1 \subset \beta$, $b_1 \subset \beta$), и эта плоскость проходит через точку $A$.
4. Докажем, что построенная плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$. Для этого воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

   В нашем случае:

   • Прямые $a_1$ и $b_1$ лежат в плоскости $\beta$ и пересекаются в точке $A$.
   • Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются.
   • По построению $a_1 \parallel a$ и $b_1 \parallel b$.

   Все условия признака выполнены, следовательно, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $\beta \parallel \alpha$.

Таким образом, мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через данную точку $A$ и параллельна данной плоскости $\alpha$.

Ответ: Существование плоскости, проходящей через точку, не лежащую в данной плоскости, и параллельной ей, доказано.

Доказательство единственности

Теперь докажем, что плоскость $\beta$, построенная выше, является единственной плоскостью, удовлетворяющей условиям задачи. Доказательство проведём методом от противного.

1. Предположим, что существует некоторая другая плоскость $\gamma$, отличная от $\beta$ ($\gamma \neq \beta$), которая также проходит через точку $A$ и параллельна плоскости $\alpha$. То есть, выполнены условия: $A \in \gamma$ и $\gamma \parallel \alpha$.
2. Мы хотим показать, что это предположение приводит к противоречию. Для этого докажем, что любая плоскость, проходящая через точку $A$ и параллельная $\alpha$, обязана содержать построенные нами в первой части прямые $a_1$ и $b_1$.
3. Рассмотрим прямую $a_1$, проходящую через точку $A$ и параллельную прямой $a$, где $a \subset \alpha$. Докажем, что $a_1$ должна лежать в плоскости $\gamma$.
   • Проведем через прямую $a$ и точку $A$ (не лежащую на ней) плоскость $\delta_1$. Эта плоскость существует и единственна. Прямая $a_1$ также лежит в этой плоскости $\delta_1$, так как проходит через точку $A$ и параллельна $a$.
   • Плоскость $\delta_1$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $a$.
   • Плоскость $\delta_1$ также пересекает плоскость $\gamma$, так как они имеют общую точку $A$. Пусть линия их пересечения — прямая $a_2$.
   • По свойству параллельных плоскостей (если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны), имеем $a_2 \parallel a$.
   • Итак, в плоскости $\delta_1$ через точку $A$ проходят две прямые, $a_1$ и $a_2$, обе параллельные прямой $a$. По аксиоме о параллельных прямых, такая прямая может быть только одна. Значит, прямые $a_1$ и $a_2$ совпадают ($a_1 \equiv a_2$).
   • Поскольку $a_2$ является линией пересечения $\delta_1$ и $\gamma$, то $a_2 \subset \gamma$. А так как $a_1 \equiv a_2$, то и $a_1 \subset \gamma$.
4. Аналогичные рассуждения, проведенные для прямой $b_1$ (проходящей через $A$ и параллельной $b \subset \alpha$) и плоскости, проходящей через $b$ и $A$, доказывают, что прямая $b_1$ также должна лежать в плоскости $\gamma$.
5. Таким образом, мы установили, что любая предполагаемая плоскость $\gamma$, проходящая через $A$ и параллельная $\alpha$, должна содержать обе пересекающиеся в точке $A$ прямые $a_1$ и $b_1$.
6. Но через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость. Этой плоскостью по построению является $\beta$. Следовательно, плоскость $\gamma$ должна совпадать с плоскостью $\beta$.
7. Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $\gamma \neq \beta$. Противоречие доказывает, что наше предположение было неверным.

Следовательно, существует только одна плоскость, проходящая через точку $A$ и параллельная плоскости $\alpha$.

Ответ: Единственность плоскости, проходящей через точку, не лежащую в данной плоскости, и параллельной ей, доказана.

60. Две плоскости α и β параллельны плоскости γ. Докажите, что плоскости α и β параллельны.

Данное утверждение является свойством транзитивности параллельности плоскостей. Для его доказательства воспользуемся методом от противного.

По условию дано, что плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \alpha \parallel \gamma $) и плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \beta \parallel \gamma $).

Предположим, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $ a $.

Выберем на прямой $ a $ произвольную точку $ M $. Поскольку прямая $ a $ является линией пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $, то точка $ M $ принадлежит обеим этим плоскостям, то есть $ M \in \alpha $ и $ M \in \beta $.

Из условия мы знаем, что $ \alpha \parallel \gamma $. Это означает, что плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не имеют общих точек. Следовательно, точка $ M $, принадлежащая плоскости $ \alpha $, не может принадлежать плоскости $ \gamma $. Значит, $ M \notin \gamma $.

Таким образом, мы установили, что через точку $ M $, не лежащую в плоскости $ \gamma $, проходят две плоскости: $ \alpha $ и $ \beta $. По нашему предположению, эти плоскости различны (так как они пересекаются), и каждая из них по условию параллельна плоскости $ \gamma $.

Это приводит к противоречию с теоремой (следствием из аксиомы параллельных прямых), которая гласит: через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Так как мы пришли к противоречию, наше исходное предположение о том, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются, является неверным. Отсюда следует, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не имеют общих точек.

Две плоскости, которые не имеют общих точек, по определению параллельны. Следовательно, $ \alpha \parallel \beta $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны.

61. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна.

Пусть даны пересекающиеся в точке $O$ прямые $a$ и $b$, и точка $A$, не лежащая в плоскости этих прямых. Обозначим плоскость, заданную прямыми $a$ и $b$, как $\alpha$. Таким образом, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$ и $A \notin \alpha$.

Доказательство состоит из двух частей: доказательство существования такой плоскости и доказательство ее единственности.

Доказательство того, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b.

1. Согласно аксиоме стереометрии, через точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведем через точку $A$ прямую $a'$, параллельную прямой $a$ ($a' \parallel a$).

2. Аналогично, проведем через точку $A$ прямую $b'$, параллельную прямой $b$ ($b' \parallel b$).

3. Прямые $a'$ и $b'$ пересекаются в точке $A$. Так как по условию прямые $a$ и $b$ пересекаются, они не параллельны. Следовательно, и прямые $a'$ и $b'$, параллельные им, также не параллельны. А поскольку они проходят через одну точку $A$, они пересекаются.

4. Две пересекающиеся прямые ($a'$ и $b'$) определяют единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. По построению, точка $A$ принадлежит этой плоскости ($A \in \beta$).

5. Теперь докажем, что плоскость $\beta$ параллельна прямым $a$ и $b$. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

6. Рассмотрим прямую $a$ и плоскость $\beta$. Мы знаем, что $a \parallel a'$ и $a' \subset \beta$. Если бы прямая $a$ лежала в плоскости $\beta$, то плоскость $\beta$ содержала бы прямую $a$ и точку $A$. Но по условию точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$, которая определяется прямыми $a$ и $b$. Следовательно, $a \notin \beta$. Таким образом, прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$ и параллельна прямой $a'$, лежащей в этой плоскости. Значит, $a \parallel \beta$.

7. Аналогично для прямой $b$. Мы знаем, что $b \parallel b'$ и $b' \subset \beta$. Прямая $b$ не может лежать в плоскости $\beta$, так как в противном случае плоскость $\beta$ содержала бы прямую $b$ и точку $A$, а точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$, содержащей прямую $b$. Следовательно, $b \notin \beta$. Таким образом, прямая $b$ не лежит в плоскости $\beta$ и параллельна прямой $b'$, лежащей в этой плоскости. Значит, $b \parallel \beta$.

8. Мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через точку $A$ и параллельна прямым $a$ и $b$. Существование доказано.

Доказательство того, что такая плоскость только одна.

1. Предположим, что существует другая плоскость $\gamma$, которая также проходит через точку $A$ и параллельна прямым $a$ и $b$ ($\gamma \neq \beta$).

2. Докажем, что плоскость $\gamma$ должна содержать построенные нами ранее прямые $a'$ и $b'$.

3. Рассмотрим плоскость $\gamma$. По предположению, $A \in \gamma$ и $\gamma \parallel a$. Известно, что если плоскость проходит через точку и параллельна некоторой прямой, то в этой плоскости лежит прямая, проходящая через данную точку и параллельная данной прямой. Докажем это строго. Пусть $\delta_a$ - плоскость, определенная точкой $A$ и прямой $a$ (такая плоскость единственна, так как $A \notin a$). Плоскости $\gamma$ и $\delta_a$ имеют общую точку $A$, значит они пересекаются по прямой, проходящей через $A$. Обозначим эту прямую $l_a = \gamma \cap \delta_a$. Так как $\gamma \parallel a$ и $a \subset \delta_a$, то по свойству параллельных прямой и плоскости, линия их пересечения $l_a$ должна быть параллельна прямой $a$. То есть $l_a \parallel a$.

4. Мы получили, что через точку $A$ проходит прямая $l_a$, параллельная прямой $a$. Но, как мы установили ранее, такая прямая единственна, и это прямая $a'$. Следовательно, $l_a$ и $a'$ совпадают, а значит $a' \subset \gamma$.

5. Проведя абсолютно аналогичные рассуждения для прямой $b$, мы докажем, что прямая $b'$, проходящая через точку $A$ и параллельная прямой $b$, также должна лежать в плоскости $\gamma$ ($b' \subset \gamma$).

6. Таким образом, предполагаемая плоскость $\gamma$ должна содержать две пересекающиеся в точке $A$ прямые $a'$ и $b'$.

7. Но две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость. Эта плоскость и есть построенная нами в первой части доказательства плоскость $\beta$.

8. Следовательно, $\gamma = \beta$. Это противоречит нашему предположению, что $\gamma \neq \beta$.

9. Значит, наше предположение неверно, и плоскость, проходящая через точку $A$ и параллельная прямым $a$ и $b$, единственна.

Ответ: Утверждение полностью доказано. Через данную точку проходит плоскость, параллельная двум данным пересекающимся прямым, и притом только одна.

62. Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями, расположенными в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых?

Чтобы плоскость считалась горизонтальной, она должна быть перпендикулярна отвесной линии, то есть направлению силы тяжести. Для однозначного определения положения плоскости в пространстве достаточно задать две пересекающиеся прямые, лежащие в этой плоскости.

Принцип проверки с помощью пересекающихся прямых

При установке угломерного инструмента, например теодолита, используются два уровня, расположенные вдоль двух пересекающихся прямых (чаще всего взаимно перпендикулярных для удобства и точности). Обозначим эти прямые как $L_1$ и $L_2$.

Процесс выравнивания заключается в том, чтобы с помощью регулировочных винтов прибора добиться центрирования пузырьков в обоих уровнях. Когда пузырек уровня находится в центре, это означает, что прямая, вдоль которой он расположен, стала горизонтальной. Таким образом, мы приводим в горизонтальное положение сначала прямую $L_1$, а затем, не нарушая ее положения, прямую $L_2$.

В результате мы получаем две пересекающиеся горизонтальные прямые ($L_1$ и $L_2$), которые лежат в плоскости диска инструмента. Согласно аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Если обе эти прямые горизонтальны, то и определяемая ими плоскость диска также будет строго горизонтальной. Это гарантирует правильную установку прибора для дальнейших измерений.

Проблема с использованием параллельных прямых

Рассмотрим, что произойдет, если расположить два уровня на параллельных прямых, $P_1$ и $P_2$. Если мы отрегулируем прибор так, что оба уровня покажут горизонтальное положение, это будет означать, что обе прямые $P_1$ и $P_2$ горизонтальны.

Однако это не гарантирует горизонтальность всей плоскости диска. Можно представить наклонную плоскость (например, лист фанеры, один край которого приподнят). На этой наклонной плоскости можно провести множество параллельных друг другу прямых, которые будут горизонтальны. Это похоже на горизонтальные линии (изогипсы) на топографической карте, которые показывают одинаковую высоту, но сама поверхность рельефа при этом имеет уклон.

Таким образом, если уровни расположены на параллельных прямых, они позволяют выровнять диск только в одном направлении — вдоль этих прямых. При этом плоскость диска может оставаться наклоненной в направлении, перпендикулярном этим уровням. Мы не сможем обнаружить или устранить этот поперечный наклон.

Ответ: Уровни нельзя располагать на параллельных прямых, потому что такое расположение позволяет определить и устранить наклон диска только в одном направлении. При этом диск может оставаться наклоненным в перпендикулярном направлении. Два уровня на пересекающихся прямых позволяют контролировать наклон плоскости в двух независимых направлениях, что является необходимым и достаточным условием для приведения всей плоскости диска в строго горизонтальное положение.

63. Параллельные плоскости α и β пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла — соответственно в точках В₁ и В₂. Найдите:

а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂ = 2А₁А = 12 см, АВ₁ = 5 см;

б) А₂В₂ и АА₂, если A₁B₁ = 18 см, AA₁ = 24 см, AA₂ = 32А₁А₂.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны и пересекают стороны угла BAC, то по обобщенной теореме Фалеса они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Кроме того, линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ с плоскостью угла BAC, то есть прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$, параллельны между собой.

Это означает, что треугольник $\triangle AA_1B_1$ подобен треугольнику $\triangle AA_2B_2$ (по двум углам: угол A - общий, $\angle AA_1B_1 = \angle AA_2B_2$ как соответственные углы при параллельных прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$ и секущей AB).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон: $$ \frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AB_1}{AB_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2} $$

а)

Дано: $A_1A_2 = 12$ см, $A_1A_2 = 2AA_1$, $AB_1 = 5$ см. (В условии, скорее всего, опечатка, и должно быть $A_1A_2 = 2AA_1$, так как точка $A_1$ лежит между A и $A_2$)

1. Найдем длину отрезка $AA_1$.
Из условия $A_1A_2 = 2AA_1$ и $A_1A_2 = 12$ см, получаем:
$12 = 2 \cdot AA_1$
$AA_1 = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Найдем длину отрезка $AA_2$.
Точки A, A?, A? лежат на одной прямой, причем A? находится между A и A?. Следовательно:
$AA_2 = AA_1 + A_1A_2 = 6 + 12 = 18$ см.

3. Найдем длину отрезка $AB_2$.
Используем пропорцию из подобия треугольников:
$$ \frac{AA_1}{AA_2} = \frac{AB_1}{AB_2} $$ Подставим известные значения:
$$ \frac{6}{18} = \frac{5}{AB_2} $$ $$ \frac{1}{3} = \frac{5}{AB_2} $$ Отсюда находим $AB_2$:
$AB_2 = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Ответ: $AA_2 = 18$ см, $AB_2 = 15$ см.

б)

Дано: $A_1B_1 = 18$ см, $AA_1 = 24$ см, $AA_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$.

1. Найдем длину отрезка $AA_2$.
Точки A, A?, A? лежат на одной прямой, поэтому $AA_2 = AA_1 + A_1A_2$. Подставим в это равенство данное условие $AA_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$:
$AA_1 + A_1A_2 = \frac{3}{2}A_1A_2$
$AA_1 = \frac{3}{2}A_1A_2 - A_1A_2$
$AA_1 = (\frac{3}{2} - 1)A_1A_2$
$AA_1 = \frac{1}{2}A_1A_2$
Мы знаем, что $AA_1 = 24$ см, значит:
$24 = \frac{1}{2}A_1A_2$
$A_1A_2 = 24 \cdot 2 = 48$ см.
Теперь найдем $AA_2$:
$AA_2 = AA_1 + A_1A_2 = 24 + 48 = 72$ см.

2. Найдем длину отрезка $A_2B_2$.
Используем пропорцию из подобия треугольников:
$$ \frac{AA_1}{AA_2} = \frac{A_1B_1}{A_2B_2} $$ Подставим известные значения:
$$ \frac{24}{72} = \frac{18}{A_2B_2} $$ $$ \frac{1}{3} = \frac{18}{A_2B_2} $$ Отсюда находим $A_2B_2$:
$A_2B_2 = 18 \cdot 3 = 54$ см.

Ответ: $A_2B_2 = 54$ см, $AA_2 = 72$ см.

64. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках A₁, B₁ и С₁, а другую — в точках А₂, В₂ и С₂. Докажите, что треугольники А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ подобны.

Обозначим точку пересечения трех прямых как $O$. Пусть данные параллельные плоскости — это $\alpha$ и $\beta$. Прямые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1$ и плоскость $\beta$ в точках $A_2, B_2, C_2$. Таким образом, точки $O, A_1, A_2$ лежат на одной прямой; точки $O, B_1, B_2$ лежат на второй прямой; а точки $O, C_1, C_2$ — на третьей.

Для доказательства подобия треугольников $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ воспользуемся признаком подобия по трем пропорциональным сторонам (SSS). Нам нужно доказать, что: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $

1. Рассмотрим стороны $A_1B_1$ и $A_2B_2$.
Прямые $OA_2$ и $OB_2$ проходят через точку $O$ и, следовательно, определяют некоторую плоскость, назовем ее $\gamma_1$. В этой плоскости лежат треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$. По условию плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $\gamma_1$ пересекает эти параллельные плоскости по прямым $A_1B_1$ и $A_2B_2$ соответственно. Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$.

• Угол $\angle A_1OB_1$ и угол $\angle A_2OB_2$ либо являются общим углом (если точка $O$ находится вне пространства между плоскостями), либо вертикальными углами (если $O$ находится между плоскостями). В любом случае, $\angle A_1OB_1 = \angle A_2OB_2$.
• Так как $A_1B_1 \parallel A_2B_2$, то соответственные углы при секущей $OA_2$ равны: $\angle OA_1B_1 = \angle OA_2B_2$.

По двум углам (признак AA), $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_2B_2$. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2} $ (1)

2. Рассмотрим стороны $B_1C_1$ и $B_2C_2$.
Аналогично, прямые $OB_2$ и $OC_2$ задают плоскость $\gamma_2$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $B_1C_1$ и $B_2C_2$. Следовательно, $B_1C_1 \parallel B_2C_2$. Рассматривая треугольники $\triangle OB_1C_1$ и $\triangle OB_2C_2$, мы также доказываем их подобие ($\triangle OB_1C_1 \sim \triangle OB_2C_2$) и получаем соотношение: $ \frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{OC_1}{OC_2} $ (2)

3. Рассмотрим стороны $A_1C_1$ и $A_2C_2$.
Прямые $OA_2$ и $OC_2$ задают плоскость $\gamma_3$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $A_1C_1$ и $A_2C_2$. Следовательно, $A_1C_1 \parallel A_2C_2$. Рассматривая треугольники $\triangle OA_1C_1$ и $\triangle OA_2C_2$, доказываем их подобие ($\triangle OA_1C_1 \sim \triangle OA_2C_2$) и получаем соотношение: $ \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OC_1}{OC_2} $ (3)

4. Заключение.
Теперь объединим полученные результаты. Из равенств (1), (2) и (3) следует, что: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OA_1}{OA_2} $ $ \frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{OB_1}{OB_2} $ $ \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{OA_1}{OA_2} $
Из (1) и (2) получаем: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} $.
Из (1) и (3) получаем: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OA_1}{OA_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $.
Следовательно, все три отношения равны: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $

Так как три стороны треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ пропорциональны трем соответствующим сторонам треугольника $\triangle A_2B_2C_2$, то по третьему признаку подобия треугольников эти треугольники подобны.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ являются подобными, так как их стороны пропорциональны, что следует из рассмотрения трех пар подобных треугольников с общей вершиной в точке пересечения прямых.

65. Параллельные отрезки А₁А₂, B₁B₂ и C₁C₂ заключены между параллельными плоскостями α и β (рис. 32).

а) Определите вид четырёхугольников А₁В₁B₂А₂, В₁С₁С₂В₂ и А₁С₁С₂А₂.

б) Докажите, что △A₁B₁C₁ = △A₂B₂C₂.

а)

Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1B_2A_2$. По условию, прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$ параллельны ($A_1A_2 \parallel B_1B_2$). Две параллельные прямые определяют плоскость. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Линия пересечения с плоскостью $\alpha$ — это прямая $A_1B_1$. Линия пересечения с плоскостью $\beta$ — это прямая $A_2B_2$. По свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$. В четырехугольнике $A_1B_1B_2A_2$ противолежащие стороны попарно параллельны ($A_1A_2 \parallel B_1B_2$ и $A_1B_1 \parallel A_2B_2$), значит, по определению, этот четырехугольник — параллелограмм.

Аналогично рассуждая, доказываем, что четырехугольники $B_1C_1C_2B_2$ и $A_1C_1C_2A_2$ также являются параллелограммами.

• Для $B_1C_1C_2B_2$: $B_1B_2 \parallel C_1C_2$ (по условию) и $B_1C_1 \parallel B_2C_2$ (как линии пересечения плоскости $(B_1B_2C_2)$ с параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$).
• Для $A_1C_1C_2A_2$: $A_1A_2 \parallel C_1C_2$ (по условию, так как все три отрезка параллельны) и $A_1C_1 \parallel A_2C_2$ (как линии пересечения плоскости $(A_1A_2C_2)$ с параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$).

Ответ: Все три четырехугольника $A_1B_1B_2A_2$, $B_1C_1C_2B_2$ и $A_1C_1C_2A_2$ являются параллелограммами.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$. Нам нужно доказать их равенство.

Из пункта а) мы знаем, что:

• $A_1B_1B_2A_2$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны, следовательно, $A_1B_1 = A_2B_2$.
• $B_1C_1C_2B_2$ — параллелограмм. Следовательно, $B_1C_1 = B_2C_2$.
• $A_1C_1C_2A_2$ — параллелограмм. Следовательно, $A_1C_1 = A_2C_2$.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle A_2B_2C_2$ ($A_1B_1 = A_2B_2$, $B_1C_1 = B_2C_2$, $A_1C_1 = A_2C_2$). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle A_2B_2C_2$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle A_2B_2C_2$ доказано.