Страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

48. Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной комнаты.

В геометрии две плоскости в трехмерном пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Если обозначить две плоскости как $\alpha$ и $\beta$, то их параллельность записывается в виде формулы $\alpha \parallel \beta$. В окружающем нас мире, в частности в классной комнате, существует множество объектов, чьи поверхности можно рассматривать как модели параллельных плоскостей.

Вот несколько примеров моделей параллельных плоскостей, которые можно найти в типичной классной комнате:

• Пол и потолок
  Плоскость пола и плоскость потолка в большинстве классных комнат являются классическим примером параллельных плоскостей. В идеализированной геометрической модели комнаты они никогда не пересекутся.
• Противоположные стены
  Две противоположные стены в комнате, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, также параллельны друг другу. Например, стена, на которой висит доска, и противоположная ей стена.
• Поверхность стола (парты) и пол
  Верхняя плоскость столешницы обычно параллельна плоскости пола. Это можно проверить, измерив расстояние от углов стола до пола — оно будет одинаковым.
• Обложки книги или тетради
  Когда учебник или тетрадь закрыты, их передняя и задняя обложки представляют собой две небольшие, но отчетливо параллельные плоскости.
• Полки в шкафу
  Поверхности полок в книжном шкафу, как правило, расположены параллельно друг другу, а также параллельны основанию шкафа и его верхней части.
• Стекла в оконной раме
  Если в окне установлен стеклопакет, то плоскости стекол в нем параллельны друг другу.

Ответ: Моделями параллельных плоскостей в классной комнате служат: плоскости пола и потолка; плоскости противоположных стен; плоскость столешницы и плоскость пола; плоскости обложек закрытой книги; плоскости полок в шкафу.

49. Прямая m пересекает плоскость α в точке В. Существует ли плоскость, проходящая через прямую m и параллельная плоскости α?

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Дано:

• Прямая $m$
• Плоскость $\alpha$
• Прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$. Это можно записать как $m \cap \alpha = \{B\}$.

Нужно определить, существует ли плоскость $\beta$, такая что:

1. Плоскость $\beta$ проходит через прямую $m$ (т.е. $m \subset \beta$).
2. Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ (т.е. $\beta \parallel \alpha$).

Рассуждение:

Предположим, что такая плоскость $\beta$ существует.

Из условия задачи известно, что прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $B$. Это означает, что точка $B$ принадлежит прямой $m$ ($B \in m$) и одновременно принадлежит плоскости $\alpha$ ($B \in \alpha$).

Согласно нашему предположению, плоскость $\beta$ проходит через прямую $m$. Это значит, что все точки прямой $m$, включая точку $B$, принадлежат плоскости $\beta$. Таким образом, $B \in \beta$.

В итоге мы имеем два факта:

• $B \in \alpha$ (из условия задачи)
• $B \in \beta$ (из нашего предположения)

Это означает, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $B$.

Однако, по определению, две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Наше предположение, что $\beta \parallel \alpha$, находится в прямом противоречии с выводом, что у этих плоскостей есть общая точка $B$.

Следовательно, исходное предположение о существовании плоскости $\beta$, проходящей через прямую $m$ и параллельной плоскости $\alpha$, является неверным.

Ответ: Нет, такая плоскость не существует. Если прямая пересекает плоскость, то любая плоскость, содержащая эту прямую, также будет пересекать данную плоскость, а значит, не может быть ей параллельна.

50. Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Доказательство

Пусть даны две параллельные плоскости $?$ и $?$ ($? \parallel ?$) и прямая $m$, которая лежит в плоскости $?$ ($m \subset ?$). Необходимо доказать, что прямая $m$ параллельна плоскости $?$ ($m \parallel ?$).

Доказательство будем проводить методом от противного. Сделаем предположение, что прямая $m$ не параллельна плоскости $?$.

По определению, если прямая не параллельна плоскости, то она ее пересекает. Следовательно, прямая $m$ и плоскость $?$ должны иметь одну общую точку. Обозначим эту точку пересечения как $P$.

Таким образом, точка $P$ принадлежит прямой $m$ ($P \in m$) и одновременно принадлежит плоскости $?$ ($P \in ?$).

Из условия задачи мы знаем, что прямая $m$ целиком лежит в плоскости $?$ ($m \subset ?$). Это означает, что любая точка, принадлежащая прямой $m$, также принадлежит и плоскости $?$. Поскольку $P \in m$, то отсюда следует, что $P \in ?$.

Итак, мы пришли к выводу, что точка $P$ является общей точкой для плоскостей $?$ и $?$. Это означает, что плоскости $?$ и $?$ пересекаются.

Однако это утверждение противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что плоскости $?$ и $?$ параллельны. По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $m$ не может пересекать плоскость $?$. А раз прямая $m$ не имеет общих точек с плоскостью $?$, то по определению параллельности прямой и плоскости, прямая $m$ параллельна плоскости $?$.

Ответ: что и требовалось доказать.

51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.

Пусть даны плоскость $\alpha$, в которой лежат две прямые $m$ и $n$, пересекающиеся в точке $P$, и плоскость $\beta$. По условию задачи, прямая $m$ параллельна плоскости $\beta$ ($m \parallel \beta$), и прямая $n$ параллельна плоскости $\beta$ ($n \parallel \beta$). Требуется доказать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту линию пересечения буквой $c$. Таким образом, мы предполагаем, что $\alpha \cap \beta = c$.

Рассмотрим прямую $m$. Она полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($m \subset \alpha$). По условию, $m$ параллельна плоскости $\beta$. Прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку является линией пересечения) и одновременно лежит в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$). Из того, что $m \parallel \beta$, следует, что прямая $m$ не имеет общих точек с плоскостью $\beta$, а значит, и с любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе с прямой $c$. Прямые $m$ и $c$ лежат в одной плоскости ($\alpha$) и не пересекаются, следовательно, они параллельны: $m \parallel c$.

Проведем аналогичные рассуждения для прямой $n$. Прямая $n$ лежит в плоскости $\alpha$ ($n \subset \alpha$) и по условию параллельна плоскости $\beta$. Прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$. По тем же причинам, что и для прямой $m$, прямая $n$ не может пересекать прямую $c$. Так как $n$ и $c$ лежат в одной плоскости $\alpha$ и не пересекаются, они должны быть параллельны: $n \parallel c$.

Итак, мы пришли к выводу, что $m \parallel c$ и $n \parallel c$. Это означает, что через точку $P$ (в которой по условию пересекаются $m$ и $n$) проходят две различные прямые, $m$ и $n$, которые обе параллельны третьей прямой $c$.

Это утверждение противоречит аксиоме о параллельных прямых (а точнее, следствию из нее), согласно которому через точку, не лежащую на данной прямой, может проходить только одна прямая, параллельная данной. В нашем случае через точку $P$ проходят две прямые, параллельные $c$, что невозможно.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, было неверным. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не имеют общих точек.

По определению, две плоскости, не имеющие общих точек, являются параллельными. Следовательно, $\alpha \parallel \beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

52. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.

Пусть дан треугольник $ABC$ и плоскость $\alpha$. По условию задачи, две его стороны, например $AB$ и $BC$, параллельны плоскости $\alpha$.

Дано:
$\triangle ABC$
Плоскость $\alpha$
$AB \parallel \alpha$
$BC \parallel \alpha$

Доказать:
$AC \parallel \alpha$

Доказательство:

Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, как $\beta$. Вершины $A$, $B$, $C$ однозначно определяют эту плоскость.
Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения плоскости треугольника $\beta$ и данной плоскости $\alpha$.

Случай 1: Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$).
Если плоскость, в которой лежит треугольник, параллельна плоскости $\alpha$, то по определению параллельных плоскостей любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$, параллельна плоскости $\alpha$. Так как сторона $AC$ является прямой, лежащей в плоскости $\beta$ ($AC \subset \beta$), то из этого следует, что $AC \parallel \alpha$. В этом случае утверждение доказано.

Случай 2: Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$.
Предположим, что плоскость $\beta$ не параллельна плоскости $\alpha$. Тогда эти плоскости должны пересекаться по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $l$ (то есть $\beta \cap \alpha = l$).
Из условия задачи мы знаем, что сторона $AB$ параллельна плоскости $\alpha$ ($AB \parallel \alpha$). При этом прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$ ($AB \subset \beta$). Согласно свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость (по прямой $l$), то линия пересечения плоскостей ($l$) параллельна исходной прямой ($AB$). Следовательно, мы получаем, что $AB \parallel l$.
Аналогичные рассуждения применим к стороне $BC$. По условию $BC \parallel \alpha$ и $BC \subset \beta$. Применяя то же самое свойство, получаем, что $BC \parallel l$.
Таким образом, мы пришли к выводу, что в плоскости $\beta$ две прямые $AB$ и $BC$, которые пересекаются в точке $B$, одновременно параллельны одной и той же прямой $l$. Это противоречит аксиоме параллельных прямых Евклида, согласно которой через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Из этой аксиомы следует, что если две прямые, проходящие через одну точку, параллельны третьей прямой, то они должны совпадать. Это означало бы, что прямые $AB$ и $BC$ совпадают, а точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, что противоречит условию, что $ABC$ — это треугольник.
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, является неверным.

Следовательно, остается единственно возможный вариант — это первый случай: плоскость треугольника $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$. Как было показано, если $\beta \parallel \alpha$, то любая прямая в плоскости $\beta$, включая сторону $AC$, параллельна плоскости $\alpha$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если две стороны треугольника параллельны некоторой плоскости, то и третья сторона этого треугольника параллельна той же плоскости.

53. Три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

Пусть $O$ — общая середина отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$. Для доказательства параллельности плоскостей $(A_1B_1C_1)$ и $(A_2B_2C_2)$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ в плоскости $(A_1B_1C_1)$ и прямые $A_2B_2$ и $A_2C_2$ в плоскости $(A_2B_2C_2)$. Точки $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой, так как по условию отрезки не лежат в одной плоскости, а значит, определяют единственную плоскость.

Докажем, что прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $A_2B_2$.
Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1A_2B_2$. Его диагонали $A_1A_2$ и $B_1B_2$ по условию задачи имеют общую середину $O$. Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $A_1B_1A_2B_2$ — это параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны. Таким образом, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

Докажем, что прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $A_2C_2$.
Аналогично, рассмотрим четырехугольник $A_1C_1A_2C_2$. Его диагонали $A_1A_2$ и $C_1C_2$ также имеют общую середину $O$. Следовательно, $A_1C_1A_2C_2$ — это параллелограмм, и его противоположные стороны $A_1C_1$ и $A_2C_2$ параллельны: $A_1C_1 \parallel A_2C_2$.

Таким образом, мы установили, что две пересекающиеся прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ из плоскости $(A_1B_1C_1)$ соответственно параллельны двум прямым $A_2B_2$ и $A_2C_2$ из плоскости $(A_2B_2C_2)$. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости $(A_2B_2C_2)$, что и требовалось доказать.

Данное доказательство можно также провести с использованием векторов. Если выбрать точку $O$ в качестве начала координат, то из условия, что $O$ является серединой отрезков, следует, что $\vec{OA_1} = -\vec{OA_2}$, $\vec{OB_1} = -\vec{OB_2}$ и $\vec{OC_1} = -\vec{OC_2}$.
Тогда для вектора, задающего прямую $A_1B_1$, получаем: $\vec{A_1B_1} = \vec{OB_1} - \vec{OA_1} = -\vec{OB_2} - (-\vec{OA_2}) = \vec{OA_2} - \vec{OB_2} = -(\vec{OB_2} - \vec{OA_2}) = -\vec{A_2B_2}$.
Из соотношения $\vec{A_1B_1} = -\vec{A_2B_2}$ следует, что векторы коллинеарны, а значит прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны. Аналогично доказывается, что $\vec{A_1C_1} = -\vec{A_2C_2}$, и, следовательно, прямые $A_1C_1$ и $A_2C_2$ параллельны. Вывод о параллельности плоскостей следует из того же признака.

Ответ: Утверждение доказано.

54. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно.

а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².

а)

Для доказательства параллельности плоскостей $MNP$ и $ADC$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим треугольник $BAC$. По условию, $M$ — середина стороны $BA$, а $N$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $BAC$. По свойству средней линии, прямая $MN$ параллельна прямой $AC$ ($MN \parallel AC$).

2. Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, $N$ — середина стороны $BC$, а $P$ — середина стороны $BD$. Следовательно, отрезок $NP$ является средней линией треугольника $BCD$. По свойству средней линии, прямая $NP$ параллельна прямой $CD$ ($NP \parallel CD$).

3. Мы имеем две пересекающиеся прямые $MN$ и $NP$ в плоскости $MNP$ (они пересекаются в точке $N$), которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $AC$ и $CD$ в плоскости $ADC$ (они пересекаются в точке $C$).

Таким образом, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(MNP)$ параллельна плоскости $(ADC)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим треугольники $MNP$ и $ADC$. Как было показано в пункте а), $MN \parallel AC$ и $NP \parallel CD$. Кроме того, по свойству средней линии $MN = \frac{1}{2}AC$ и $NP = \frac{1}{2}CD$.

Аналогично, в треугольнике $BAD$ отрезок $MP$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $BA$ и $BD$. Следовательно, $MP \parallel AD$ и $MP = \frac{1}{2}AD$.

Поскольку стороны треугольника $MNP$ соответственно параллельны сторонам треугольника $ADC$, эти треугольники подобны ($\triangle MNP \sim \triangle ADC$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон:

$k = \frac{MN}{AC} = \frac{NP}{CD} = \frac{MP}{AD} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{MNP}}{S_{ADC}} = k^2$

Подставляем известные значения, где $S_{ADC} = 48$ см?:

$\frac{S_{MNP}}{48} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда находим площадь треугольника $MNP$:

$S_{MNP} = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$ см?.

Ответ: 12 см?.

55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости α.

Решение

Рассмотрим произвольную плоскость β, параллельную плоскости α. Через какую-нибудь точку В плоскости β проведём прямую b, параллельную прямой а. Так как прямая а пересекает плоскость α, то прямая b также пересекает эту плоскость. Следовательно, прямая b пересекает плоскость β (а не лежит в ней). Поэтому прямая а также пересекает плоскость β.

Решение

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть дана прямая $a$, которая пересекает плоскость $\alpha$. Обозначим их точку пересечения как $M$. Таким образом, $a \cap \alpha = \{M\}$. Также пусть дана плоскость $\beta$, такая что $\beta \parallel \alpha$.

Предположим, что прямая $a$ не пересекает плоскость $\beta$. В таком случае возможны два варианта: либо прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$, либо прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$.

Рассмотрим первый вариант: прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).
Существует теорема стереометрии: если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она либо параллельна и второй плоскости, либо лежит в ней. Поскольку мы предположили, что $a \parallel \beta$, и дано, что $\beta \parallel \alpha$, то из этого следует, что либо $a \parallel \alpha$, либо $a \subset \alpha$. Оба эти вывода противоречат начальному условию, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Следовательно, этот вариант невозможен.

Рассмотрим второй вариант: прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).
По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек, то есть их пересечение является пустым множеством: $\alpha \cap \beta = \emptyset$. Если прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\beta$, то она не может иметь общих точек с плоскостью $\alpha$. Это также противоречит условию, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Следовательно, и этот вариант невозможен.

Поскольку оба возможных следствия из нашего предположения (что прямая $a$ не пересекает плоскость $\beta$) приводят к противоречию, само предположение является ложным.

Таким образом, единственно верным является утверждение, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она обязательно пересекает и вторую.

56. Плоскости α и β параллельны, А — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.

Дано:

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).
• Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).
• Прямая $a$ такова, что проходит через точку $A$ ($A \in a$) и параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Доказать:

Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Доказательство:

1. По свойству прямой, параллельной плоскости, через прямую $a$ можно провести плоскость $\gamma$, параллельную плоскости $\beta$. Так как $a \parallel \beta$, то все точки прямой $a$ равноудалены от плоскости $\beta$. Плоскость, проходящая через любую точку прямой $a$ параллельно $\beta$, будет содержать и все остальные точки прямой, а значит, и всю прямую $a$. Построим такую плоскость $\gamma$.
2. Таким образом, мы имеем следующие соотношения параллельности:
   • $\alpha \parallel \beta$ (по условию задачи)
   • $\gamma \parallel \beta$ (по построению)
3. Согласно свойству транзитивности для параллельных плоскостей, если две плоскости ($\alpha$ и $\gamma$) параллельны третьей плоскости ($\beta$), то они либо параллельны между собой ($\alpha \parallel \gamma$), либо совпадают ($\alpha \equiv \gamma$).
4. По условию, точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). Также, по условию, точка $A$ лежит на прямой $a$ ($A \in a$). По нашему построению, прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$), из чего следует, что точка $A$ также принадлежит плоскости $\gamma$ ($A \in \gamma$).
5. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\gamma$ имеют общую точку — точку $A$.
6. По определению, две различные параллельные плоскости не имеют общих точек. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\gamma$ имеют общую точку $A$, они не могут быть параллельными.
7. Таким образом, из двух возможных вариантов, описанных в шаге 3, единственно верным остается тот, в котором плоскости $\alpha$ и $\gamma$ совпадают, то есть $\alpha \equiv \gamma$.
8. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$), а плоскость $\gamma$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то прямая $a$ лежит и в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

57. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая а либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.

Для доказательства данной теоремы воспользуемся методом от противного.

Дано:
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то есть $\alpha \parallel \beta$.
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $a \parallel \alpha$.

Доказать:
Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$) или прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

Доказательство:

Предположим, что заключение теоремы неверно. Это значит, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\beta$ и не лежит в ней. Для прямой и плоскости в пространстве это означает, что они должны пересекаться в одной единственной точке. Назовем эту точку $M$. Итак, наше предположение: $a \cap \beta = \{M\}$.

Поскольку по условию задачи прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, у них нет общих точек. Точка $M$ принадлежит прямой $a$, следовательно, точка $M$ не может принадлежать плоскости $\alpha$.

Теперь построим вспомогательную плоскость $\gamma$. Проведем ее через прямую $a$ и любую точку $K$, принадлежащую плоскости $\alpha$. Так как $a \parallel \alpha$, точка $K$ не лежит на прямой $a$, и такая плоскость $\gamma$ единственна.

Рассмотрим, как плоскость $\gamma$ взаимодействует с плоскостями $\alpha$ и $\beta$:

1. Плоскость $\gamma$ проходит через прямую $a$ и пересекает плоскость $\alpha$ (по точке $K$). Обозначим линию их пересечения как прямую $b$ (т.е. $\gamma \cap \alpha = b$). Согласно свойству, если плоскость ($\gamma$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей ($b$) параллельна данной прямой ($a$). Таким образом, мы получаем, что $a \parallel b$.

2. По нашему предположению, прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$, то и плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$. Обозначим линию их пересечения как прямую $c$ (т.е. $\gamma \cap \beta = c$).

Теперь применим свойство параллельных плоскостей. По условию $\alpha \parallel \beta$. Третья плоскость $\gamma$ пересекает их по прямым $b$ и $c$ соответственно. Следовательно, линии пересечения должны быть параллельны: $b \parallel c$.

Мы получили следующие соотношения для прямых $a$, $b$ и $c$, которые все лежат в одной плоскости $\gamma$:

• $a \parallel b$
• $b \parallel c$

Из транзитивности параллельности прямых на плоскости следует, что $a \parallel c$.

Однако, вернемся к нашему начальному предположению. Точка $M$ — это точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\beta$. Поскольку прямая $c$ — это линия пересечения плоскости $\gamma$ (в которой лежит $a$) и плоскости $\beta$, то точка $M$ должна принадлежать и прямой $c$. Таким образом, прямые $a$ и $c$, лежащие в одной плоскости $\gamma$, имеют общую точку $M$, то есть пересекаются.

Возникло противоречие: мы доказали, что прямые $a$ и $c$ параллельны, и в то же время они пересекаются в точке $M$. Две различные прямые на плоскости не могут быть одновременно параллельными и пересекающимися.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $a$ не может пересекать плоскость $\beta$. Если прямая и плоскость не пересекаются, то остаются только два варианта их взаимного расположения: либо прямая параллельна плоскости, либо прямая лежит в плоскости.

Таким образом, мы доказали, что прямая $a$ либо параллельна плоскости $\beta$, либо лежит в ней.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, а плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, то прямая $a$ либо параллельна плоскости $\beta$, либо лежит в плоскости $\beta$.

58. Докажите, что если плоскость γ пересекает одну из параллельных плоскостей α и β, то она пересекает и другую плоскость.

Решение

Пусть плоскость γ пересекает плоскость α по прямой а. Докажем, что плоскость γ пересекает также плоскость β. Проведём в плоскости γ прямую b, пересекающую прямую а. Прямая b пересекает плоскость α, поэтому она пересекает и параллельную ей плоскость β (задача 55). Следовательно, и плоскость γ, в которой лежит прямая b, пересекает плоскость β.

Данную теорему можно доказать методом от противного, который является одним из фундаментальных методов в математике.

Дано:

• Две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Математически это записывается как $\alpha \parallel \beta$.
• Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$. Это означает, что у них есть общие точки.

Доказать:

• Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$.

Доказательство:

1. Сделаем предположение, обратное тому, что мы хотим доказать. Допустим, что плоскость $\gamma$ не пересекает плоскость $\beta$.

2. По определению, если две различные плоскости не пересекаются, то они параллельны. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что плоскость $\gamma$ параллельна плоскости $\beta$:

$ \gamma \parallel \beta $

3. Теперь обратимся к исходным условиям задачи. Нам дано, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$:

$ \alpha \parallel \beta $

4. У нас есть два соотношения: $ \gamma \parallel \beta $ (наше предположение) и $ \alpha \parallel \beta $ (условие задачи). В стереометрии существует теорема о транзитивности параллельности плоскостей, которая гласит: если две плоскости по отдельности параллельны третьей плоскости, то они параллельны и между собой.

Применяя эту теорему к нашим плоскостям, мы получаем, что плоскость $\alpha$ должна быть параллельна плоскости $\gamma$:

$ \alpha \parallel \gamma $

5. Вывод о том, что $\alpha \parallel \gamma$, означает, что эти две плоскости не имеют ни одной общей точки. Однако это утверждение напрямую противоречит исходному условию задачи, где сказано, что плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$.

6. Поскольку наше первоначальное предположение (что $\gamma$ не пересекает $\beta$) привело к логическому противоречию, это предположение является ложным. Следовательно, верным является обратное утверждение.

Таким образом, плоскость $\gamma$ обязательно пересекает плоскость $\beta$. Теорема доказана.

Ответ: Утверждение доказывается методом от противного. Если предположить, что плоскость $\gamma$ не пересекает $\beta$ (то есть $\gamma \parallel \beta$), то из условия $\alpha \parallel \beta$ по свойству транзитивности параллельности плоскостей следует, что $\alpha \parallel \gamma$. Это противоречит исходному условию о том, что плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$. Следовательно, исходное предположение неверно, и плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$.