Номер 58, страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Параллельность плоскостей. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 58, страница 23.

58. Докажите, что если плоскость γ пересекает одну из параллельных плоскостей α и β, то она пересекает и другую плоскость.

Решение

Пусть плоскость γ пересекает плоскость α по прямой а. Докажем, что плоскость γ пересекает также плоскость β. Проведём в плоскости γ прямую b, пересекающую прямую а. Прямая b пересекает плоскость α, поэтому она пересекает и параллельную ей плоскость β (задача 55). Следовательно, и плоскость γ, в которой лежит прямая b, пересекает плоскость β.

Данную теорему можно доказать методом от противного, который является одним из фундаментальных методов в математике.

Дано:

• Две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Математически это записывается как $\alpha \parallel \beta$.
• Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$. Это означает, что у них есть общие точки.

Доказать:

• Плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$.

Доказательство:

1. Сделаем предположение, обратное тому, что мы хотим доказать. Допустим, что плоскость $\gamma$ не пересекает плоскость $\beta$.

2. По определению, если две различные плоскости не пересекаются, то они параллельны. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что плоскость $\gamma$ параллельна плоскости $\beta$:

$ \gamma \parallel \beta $

3. Теперь обратимся к исходным условиям задачи. Нам дано, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$:

$ \alpha \parallel \beta $

4. У нас есть два соотношения: $ \gamma \parallel \beta $ (наше предположение) и $ \alpha \parallel \beta $ (условие задачи). В стереометрии существует теорема о транзитивности параллельности плоскостей, которая гласит: если две плоскости по отдельности параллельны третьей плоскости, то они параллельны и между собой.

Применяя эту теорему к нашим плоскостям, мы получаем, что плоскость $\alpha$ должна быть параллельна плоскости $\gamma$:

$ \alpha \parallel \gamma $

5. Вывод о том, что $\alpha \parallel \gamma$, означает, что эти две плоскости не имеют ни одной общей точки. Однако это утверждение напрямую противоречит исходному условию задачи, где сказано, что плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$.

6. Поскольку наше первоначальное предположение (что $\gamma$ не пересекает $\beta$) привело к логическому противоречию, это предположение является ложным. Следовательно, верным является обратное утверждение.

Таким образом, плоскость $\gamma$ обязательно пересекает плоскость $\beta$. Теорема доказана.

Ответ: Утверждение доказывается методом от противного. Если предположить, что плоскость $\gamma$ не пересекает $\beta$ (то есть $\gamma \parallel \beta$), то из условия $\alpha \parallel \beta$ по свойству транзитивности параллельности плоскостей следует, что $\alpha \parallel \gamma$. Это противоречит исходному условию о том, что плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$. Следовательно, исходное предположение неверно, и плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$.