Номер 57, страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

57. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая а либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.

Для доказательства данной теоремы воспользуемся методом от противного.

Дано:
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то есть $\alpha \parallel \beta$.
Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $a \parallel \alpha$.

Доказать:
Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$) или прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).

Доказательство:

Предположим, что заключение теоремы неверно. Это значит, что прямая $a$ не параллельна плоскости $\beta$ и не лежит в ней. Для прямой и плоскости в пространстве это означает, что они должны пересекаться в одной единственной точке. Назовем эту точку $M$. Итак, наше предположение: $a \cap \beta = \{M\}$.

Поскольку по условию задачи прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, у них нет общих точек. Точка $M$ принадлежит прямой $a$, следовательно, точка $M$ не может принадлежать плоскости $\alpha$.

Теперь построим вспомогательную плоскость $\gamma$. Проведем ее через прямую $a$ и любую точку $K$, принадлежащую плоскости $\alpha$. Так как $a \parallel \alpha$, точка $K$ не лежит на прямой $a$, и такая плоскость $\gamma$ единственна.

Рассмотрим, как плоскость $\gamma$ взаимодействует с плоскостями $\alpha$ и $\beta$:

1. Плоскость $\gamma$ проходит через прямую $a$ и пересекает плоскость $\alpha$ (по точке $K$). Обозначим линию их пересечения как прямую $b$ (т.е. $\gamma \cap \alpha = b$). Согласно свойству, если плоскость ($\gamma$) проходит через прямую ($a$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей ($b$) параллельна данной прямой ($a$). Таким образом, мы получаем, что $a \parallel b$.

2. По нашему предположению, прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в точке $M$. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$, то и плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\beta$. Обозначим линию их пересечения как прямую $c$ (т.е. $\gamma \cap \beta = c$).

Теперь применим свойство параллельных плоскостей. По условию $\alpha \parallel \beta$. Третья плоскость $\gamma$ пересекает их по прямым $b$ и $c$ соответственно. Следовательно, линии пересечения должны быть параллельны: $b \parallel c$.

Мы получили следующие соотношения для прямых $a$, $b$ и $c$, которые все лежат в одной плоскости $\gamma$:

• $a \parallel b$
• $b \parallel c$

Из транзитивности параллельности прямых на плоскости следует, что $a \parallel c$.

Однако, вернемся к нашему начальному предположению. Точка $M$ — это точка пересечения прямой $a$ и плоскости $\beta$. Поскольку прямая $c$ — это линия пересечения плоскости $\gamma$ (в которой лежит $a$) и плоскости $\beta$, то точка $M$ должна принадлежать и прямой $c$. Таким образом, прямые $a$ и $c$, лежащие в одной плоскости $\gamma$, имеют общую точку $M$, то есть пересекаются.

Возникло противоречие: мы доказали, что прямые $a$ и $c$ параллельны, и в то же время они пересекаются в точке $M$. Две различные прямые на плоскости не могут быть одновременно параллельными и пересекающимися.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $a$ не может пересекать плоскость $\beta$. Если прямая и плоскость не пересекаются, то остаются только два варианта их взаимного расположения: либо прямая параллельна плоскости, либо прямая лежит в плоскости.

Таким образом, мы доказали, что прямая $a$ либо параллельна плоскости $\beta$, либо лежит в ней.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, а плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, то прямая $a$ либо параллельна плоскости $\beta$, либо лежит в плоскости $\beta$.