Номер 59, страница 24 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

59. Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости α, проходит плоскость, параллельная плоскости α, и притом только одна.

Решение

Проведём в плоскости α две пересекающиеся прямые а и b, а через точку А проведём прямые а₁ и b₁, соответственно параллельные прямым а и b. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямые а₁ и b₁. Плоскость β — искомая, так как она проходит через точку А и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости α.

Докажем теперь, что β — единственная плоскость, проходящая через данную точку А и параллельная плоскости α. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость β, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость α (задача 58).

Данная задача представляет собой доказательство теоремы о существовании и единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости. Доказательство состоит из двух логических частей: доказательство существования такой плоскости и доказательство её единственности.

Доказательство существования

Сначала докажем, что через точку $A$, не лежащую в плоскости $\alpha$, проходит плоскость, параллельная плоскости $\alpha$.

Для доказательства выполним следующие построения и рассуждения:

1. В плоскости $\alpha$ выберем две произвольные пересекающиеся прямые $a$ и $b$. Пусть они пересекаются в точке $M$. Такое построение всегда возможно, так как любая плоскость содержит бесконечное множество пересекающихся прямых. Итак, имеем $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$ и $a \cap b = M$.
2. Через точку $A$, не принадлежащую плоскости $\alpha$, проведём прямую $a_1$, параллельную прямой $a$, и прямую $b_1$, параллельную прямой $b$. Согласно следствию из аксиомы параллельных прямых в пространстве, через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Итак, по построению $a_1 \parallel a$ и $b_1 \parallel b$.
3. Поскольку прямые $a_1$ и $b_1$ обе проходят через точку $A$, они пересекаются в этой точке: $a_1 \cap b_1 = A$. По аксиоме, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость $\beta$. Таким образом, прямые $a_1$ и $b_1$ лежат в плоскости $\beta$ ($a_1 \subset \beta$, $b_1 \subset \beta$), и эта плоскость проходит через точку $A$.
4. Докажем, что построенная плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$. Для этого воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

   В нашем случае:

   • Прямые $a_1$ и $b_1$ лежат в плоскости $\beta$ и пересекаются в точке $A$.
   • Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются.
   • По построению $a_1 \parallel a$ и $b_1 \parallel b$.

   Все условия признака выполнены, следовательно, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $\beta \parallel \alpha$.

Таким образом, мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через данную точку $A$ и параллельна данной плоскости $\alpha$.

Ответ: Существование плоскости, проходящей через точку, не лежащую в данной плоскости, и параллельной ей, доказано.

Доказательство единственности

Теперь докажем, что плоскость $\beta$, построенная выше, является единственной плоскостью, удовлетворяющей условиям задачи. Доказательство проведём методом от противного.

1. Предположим, что существует некоторая другая плоскость $\gamma$, отличная от $\beta$ ($\gamma \neq \beta$), которая также проходит через точку $A$ и параллельна плоскости $\alpha$. То есть, выполнены условия: $A \in \gamma$ и $\gamma \parallel \alpha$.
2. Мы хотим показать, что это предположение приводит к противоречию. Для этого докажем, что любая плоскость, проходящая через точку $A$ и параллельная $\alpha$, обязана содержать построенные нами в первой части прямые $a_1$ и $b_1$.
3. Рассмотрим прямую $a_1$, проходящую через точку $A$ и параллельную прямой $a$, где $a \subset \alpha$. Докажем, что $a_1$ должна лежать в плоскости $\gamma$.
   • Проведем через прямую $a$ и точку $A$ (не лежащую на ней) плоскость $\delta_1$. Эта плоскость существует и единственна. Прямая $a_1$ также лежит в этой плоскости $\delta_1$, так как проходит через точку $A$ и параллельна $a$.
   • Плоскость $\delta_1$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $a$.
   • Плоскость $\delta_1$ также пересекает плоскость $\gamma$, так как они имеют общую точку $A$. Пусть линия их пересечения — прямая $a_2$.
   • По свойству параллельных плоскостей (если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны), имеем $a_2 \parallel a$.
   • Итак, в плоскости $\delta_1$ через точку $A$ проходят две прямые, $a_1$ и $a_2$, обе параллельные прямой $a$. По аксиоме о параллельных прямых, такая прямая может быть только одна. Значит, прямые $a_1$ и $a_2$ совпадают ($a_1 \equiv a_2$).
   • Поскольку $a_2$ является линией пересечения $\delta_1$ и $\gamma$, то $a_2 \subset \gamma$. А так как $a_1 \equiv a_2$, то и $a_1 \subset \gamma$.
4. Аналогичные рассуждения, проведенные для прямой $b_1$ (проходящей через $A$ и параллельной $b \subset \alpha$) и плоскости, проходящей через $b$ и $A$, доказывают, что прямая $b_1$ также должна лежать в плоскости $\gamma$.
5. Таким образом, мы установили, что любая предполагаемая плоскость $\gamma$, проходящая через $A$ и параллельная $\alpha$, должна содержать обе пересекающиеся в точке $A$ прямые $a_1$ и $b_1$.
6. Но через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость. Этой плоскостью по построению является $\beta$. Следовательно, плоскость $\gamma$ должна совпадать с плоскостью $\beta$.
7. Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $\gamma \neq \beta$. Противоречие доказывает, что наше предположение было неверным.

Следовательно, существует только одна плоскость, проходящая через точку $A$ и параллельная плоскости $\alpha$.

Ответ: Единственность плоскости, проходящей через точку, не лежащую в данной плоскости, и параллельной ей, доказана.