Номер 64, страница 24 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

64. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках A₁, B₁ и С₁, а другую — в точках А₂, В₂ и С₂. Докажите, что треугольники А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ подобны.

Обозначим точку пересечения трех прямых как $O$. Пусть данные параллельные плоскости — это $\alpha$ и $\beta$. Прямые пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1, B_1, C_1$ и плоскость $\beta$ в точках $A_2, B_2, C_2$. Таким образом, точки $O, A_1, A_2$ лежат на одной прямой; точки $O, B_1, B_2$ лежат на второй прямой; а точки $O, C_1, C_2$ — на третьей.

Для доказательства подобия треугольников $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ воспользуемся признаком подобия по трем пропорциональным сторонам (SSS). Нам нужно доказать, что: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $

1. Рассмотрим стороны $A_1B_1$ и $A_2B_2$.
Прямые $OA_2$ и $OB_2$ проходят через точку $O$ и, следовательно, определяют некоторую плоскость, назовем ее $\gamma_1$. В этой плоскости лежат треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$. По условию плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Плоскость $\gamma_1$ пересекает эти параллельные плоскости по прямым $A_1B_1$ и $A_2B_2$ соответственно. Согласно свойству параллельных плоскостей, если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$.

• Угол $\angle A_1OB_1$ и угол $\angle A_2OB_2$ либо являются общим углом (если точка $O$ находится вне пространства между плоскостями), либо вертикальными углами (если $O$ находится между плоскостями). В любом случае, $\angle A_1OB_1 = \angle A_2OB_2$.
• Так как $A_1B_1 \parallel A_2B_2$, то соответственные углы при секущей $OA_2$ равны: $\angle OA_1B_1 = \angle OA_2B_2$.

По двум углам (признак AA), $\triangle OA_1B_1 \sim \triangle OA_2B_2$. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2} $ (1)

2. Рассмотрим стороны $B_1C_1$ и $B_2C_2$.
Аналогично, прямые $OB_2$ и $OC_2$ задают плоскость $\gamma_2$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $B_1C_1$ и $B_2C_2$. Следовательно, $B_1C_1 \parallel B_2C_2$. Рассматривая треугольники $\triangle OB_1C_1$ и $\triangle OB_2C_2$, мы также доказываем их подобие ($\triangle OB_1C_1 \sim \triangle OB_2C_2$) и получаем соотношение: $ \frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{OC_1}{OC_2} $ (2)

3. Рассмотрим стороны $A_1C_1$ и $A_2C_2$.
Прямые $OA_2$ и $OC_2$ задают плоскость $\gamma_3$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $A_1C_1$ и $A_2C_2$. Следовательно, $A_1C_1 \parallel A_2C_2$. Рассматривая треугольники $\triangle OA_1C_1$ и $\triangle OA_2C_2$, доказываем их подобие ($\triangle OA_1C_1 \sim \triangle OA_2C_2$) и получаем соотношение: $ \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OC_1}{OC_2} $ (3)

4. Заключение.
Теперь объединим полученные результаты. Из равенств (1), (2) и (3) следует, что: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OA_1}{OA_2} $ $ \frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{OB_1}{OB_2} $ $ \frac{A_1C_1}{A_2C_2} = \frac{OA_1}{OA_2} $
Из (1) и (2) получаем: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OB_1}{OB_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} $.
Из (1) и (3) получаем: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{OA_1}{OA_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $.
Следовательно, все три отношения равны: $ \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{B_1C_1}{B_2C_2} = \frac{A_1C_1}{A_2C_2} $

Так как три стороны треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ пропорциональны трем соответствующим сторонам треугольника $\triangle A_2B_2C_2$, то по третьему признаку подобия треугольников эти треугольники подобны.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ являются подобными, так как их стороны пропорциональны, что следует из рассмотрения трех пар подобных треугольников с общей вершиной в точке пересечения прямых.