Номер 61, страница 24 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

61. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и b, и притом только одна.

Пусть даны пересекающиеся в точке $O$ прямые $a$ и $b$, и точка $A$, не лежащая в плоскости этих прямых. Обозначим плоскость, заданную прямыми $a$ и $b$, как $\alpha$. Таким образом, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$ и $A \notin \alpha$.

Доказательство состоит из двух частей: доказательство существования такой плоскости и доказательство ее единственности.

Доказательство того, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b.

1. Согласно аксиоме стереометрии, через точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Проведем через точку $A$ прямую $a'$, параллельную прямой $a$ ($a' \parallel a$).

2. Аналогично, проведем через точку $A$ прямую $b'$, параллельную прямой $b$ ($b' \parallel b$).

3. Прямые $a'$ и $b'$ пересекаются в точке $A$. Так как по условию прямые $a$ и $b$ пересекаются, они не параллельны. Следовательно, и прямые $a'$ и $b'$, параллельные им, также не параллельны. А поскольку они проходят через одну точку $A$, они пересекаются.

4. Две пересекающиеся прямые ($a'$ и $b'$) определяют единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$. По построению, точка $A$ принадлежит этой плоскости ($A \in \beta$).

5. Теперь докажем, что плоскость $\beta$ параллельна прямым $a$ и $b$. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

6. Рассмотрим прямую $a$ и плоскость $\beta$. Мы знаем, что $a \parallel a'$ и $a' \subset \beta$. Если бы прямая $a$ лежала в плоскости $\beta$, то плоскость $\beta$ содержала бы прямую $a$ и точку $A$. Но по условию точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$, которая определяется прямыми $a$ и $b$. Следовательно, $a \notin \beta$. Таким образом, прямая $a$ не лежит в плоскости $\beta$ и параллельна прямой $a'$, лежащей в этой плоскости. Значит, $a \parallel \beta$.

7. Аналогично для прямой $b$. Мы знаем, что $b \parallel b'$ и $b' \subset \beta$. Прямая $b$ не может лежать в плоскости $\beta$, так как в противном случае плоскость $\beta$ содержала бы прямую $b$ и точку $A$, а точка $A$ не лежит в плоскости $\alpha$, содержащей прямую $b$. Следовательно, $b \notin \beta$. Таким образом, прямая $b$ не лежит в плоскости $\beta$ и параллельна прямой $b'$, лежащей в этой плоскости. Значит, $b \parallel \beta$.

8. Мы построили плоскость $\beta$, которая проходит через точку $A$ и параллельна прямым $a$ и $b$. Существование доказано.

Доказательство того, что такая плоскость только одна.

1. Предположим, что существует другая плоскость $\gamma$, которая также проходит через точку $A$ и параллельна прямым $a$ и $b$ ($\gamma \neq \beta$).

2. Докажем, что плоскость $\gamma$ должна содержать построенные нами ранее прямые $a'$ и $b'$.

3. Рассмотрим плоскость $\gamma$. По предположению, $A \in \gamma$ и $\gamma \parallel a$. Известно, что если плоскость проходит через точку и параллельна некоторой прямой, то в этой плоскости лежит прямая, проходящая через данную точку и параллельная данной прямой. Докажем это строго. Пусть $\delta_a$ - плоскость, определенная точкой $A$ и прямой $a$ (такая плоскость единственна, так как $A \notin a$). Плоскости $\gamma$ и $\delta_a$ имеют общую точку $A$, значит они пересекаются по прямой, проходящей через $A$. Обозначим эту прямую $l_a = \gamma \cap \delta_a$. Так как $\gamma \parallel a$ и $a \subset \delta_a$, то по свойству параллельных прямой и плоскости, линия их пересечения $l_a$ должна быть параллельна прямой $a$. То есть $l_a \parallel a$.

4. Мы получили, что через точку $A$ проходит прямая $l_a$, параллельная прямой $a$. Но, как мы установили ранее, такая прямая единственна, и это прямая $a'$. Следовательно, $l_a$ и $a'$ совпадают, а значит $a' \subset \gamma$.

5. Проведя абсолютно аналогичные рассуждения для прямой $b$, мы докажем, что прямая $b'$, проходящая через точку $A$ и параллельная прямой $b$, также должна лежать в плоскости $\gamma$ ($b' \subset \gamma$).

6. Таким образом, предполагаемая плоскость $\gamma$ должна содержать две пересекающиеся в точке $A$ прямые $a'$ и $b'$.

7. Но две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость. Эта плоскость и есть построенная нами в первой части доказательства плоскость $\beta$.

8. Следовательно, $\gamma = \beta$. Это противоречит нашему предположению, что $\gamma \neq \beta$.

9. Значит, наше предположение неверно, и плоскость, проходящая через точку $A$ и параллельная прямым $a$ и $b$, единственна.

Ответ: Утверждение полностью доказано. Через данную точку проходит плоскость, параллельная двум данным пересекающимся прямым, и притом только одна.