Номер 56, страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

56. Плоскости α и β параллельны, А — точка плоскости α. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости β, лежит в плоскости α.

Дано:

• Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).
• Точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$).
• Прямая $a$ такова, что проходит через точку $A$ ($A \in a$) и параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Доказать:

Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Доказательство:

1. По свойству прямой, параллельной плоскости, через прямую $a$ можно провести плоскость $\gamma$, параллельную плоскости $\beta$. Так как $a \parallel \beta$, то все точки прямой $a$ равноудалены от плоскости $\beta$. Плоскость, проходящая через любую точку прямой $a$ параллельно $\beta$, будет содержать и все остальные точки прямой, а значит, и всю прямую $a$. Построим такую плоскость $\gamma$.
2. Таким образом, мы имеем следующие соотношения параллельности:
   • $\alpha \parallel \beta$ (по условию задачи)
   • $\gamma \parallel \beta$ (по построению)
3. Согласно свойству транзитивности для параллельных плоскостей, если две плоскости ($\alpha$ и $\gamma$) параллельны третьей плоскости ($\beta$), то они либо параллельны между собой ($\alpha \parallel \gamma$), либо совпадают ($\alpha \equiv \gamma$).
4. По условию, точка $A$ принадлежит плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$). Также, по условию, точка $A$ лежит на прямой $a$ ($A \in a$). По нашему построению, прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$), из чего следует, что точка $A$ также принадлежит плоскости $\gamma$ ($A \in \gamma$).
5. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\gamma$ имеют общую точку — точку $A$.
6. По определению, две различные параллельные плоскости не имеют общих точек. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\gamma$ имеют общую точку $A$, они не могут быть параллельными.
7. Таким образом, из двух возможных вариантов, описанных в шаге 3, единственно верным остается тот, в котором плоскости $\alpha$ и $\gamma$ совпадают, то есть $\alpha \equiv \gamma$.
8. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$ ($a \subset \gamma$), а плоскость $\gamma$ совпадает с плоскостью $\alpha$, то прямая $a$ лежит и в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.