Номер 53, страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Параллельность плоскостей. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 53, страница 23.

53. Три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

Пусть $O$ — общая середина отрезков $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$. Для доказательства параллельности плоскостей $(A_1B_1C_1)$ и $(A_2B_2C_2)$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ в плоскости $(A_1B_1C_1)$ и прямые $A_2B_2$ и $A_2C_2$ в плоскости $(A_2B_2C_2)$. Точки $A_1, B_1, C_1$ не лежат на одной прямой, так как по условию отрезки не лежат в одной плоскости, а значит, определяют единственную плоскость.

Докажем, что прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $A_2B_2$.
Рассмотрим четырехугольник $A_1B_1A_2B_2$. Его диагонали $A_1A_2$ и $B_1B_2$ по условию задачи имеют общую середину $O$. Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $A_1B_1A_2B_2$ — это параллелограмм. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны. Таким образом, $A_1B_1 \parallel A_2B_2$.

Докажем, что прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $A_2C_2$.
Аналогично, рассмотрим четырехугольник $A_1C_1A_2C_2$. Его диагонали $A_1A_2$ и $C_1C_2$ также имеют общую середину $O$. Следовательно, $A_1C_1A_2C_2$ — это параллелограмм, и его противоположные стороны $A_1C_1$ и $A_2C_2$ параллельны: $A_1C_1 \parallel A_2C_2$.

Таким образом, мы установили, что две пересекающиеся прямые $A_1B_1$ и $A_1C_1$ из плоскости $(A_1B_1C_1)$ соответственно параллельны двум прямым $A_2B_2$ и $A_2C_2$ из плоскости $(A_2B_2C_2)$. Следовательно, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости $(A_2B_2C_2)$, что и требовалось доказать.

Данное доказательство можно также провести с использованием векторов. Если выбрать точку $O$ в качестве начала координат, то из условия, что $O$ является серединой отрезков, следует, что $\vec{OA_1} = -\vec{OA_2}$, $\vec{OB_1} = -\vec{OB_2}$ и $\vec{OC_1} = -\vec{OC_2}$.
Тогда для вектора, задающего прямую $A_1B_1$, получаем: $\vec{A_1B_1} = \vec{OB_1} - \vec{OA_1} = -\vec{OB_2} - (-\vec{OA_2}) = \vec{OA_2} - \vec{OB_2} = -(\vec{OB_2} - \vec{OA_2}) = -\vec{A_2B_2}$.
Из соотношения $\vec{A_1B_1} = -\vec{A_2B_2}$ следует, что векторы коллинеарны, а значит прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ параллельны. Аналогично доказывается, что $\vec{A_1C_1} = -\vec{A_2C_2}$, и, следовательно, прямые $A_1C_1$ и $A_2C_2$ параллельны. Вывод о параллельности плоскостей следует из того же признака.

Ответ: Утверждение доказано.