Номер 47, страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 47, страница 20.
№47 (с. 20)
Условие. №47 (с. 20)
скриншот условия

47. В пространственном четырёхугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.
Решение 2. №47 (с. 20)

Решение 4. №47 (с. 20)

Решение 5. №47 (с. 20)

Решение 6. №47 (с. 20)
Пусть $ABCD$ — заданный пространственный четырехугольник. Обозначим через $M$ середину отрезка $BC$ и через $N$ середину отрезка $AD$. Требуется доказать, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой $MN$. По условию, длины сторон $AB$ и $CD$ равны, то есть $AB = CD$.
Для доказательства используем метод дополнительного построения. Введем вспомогательную точку $K$, которая является серединой диагонали $AC$. Соединим точки $M$, $N$ и $K$ отрезками.
Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ соединяет середины сторон $BC$ и $AC$. Согласно свойству средней линии треугольника, отрезок $MK$ параллелен стороне $AB$ и его длина равна половине длины стороны $AB$. Таким образом, мы имеем:
$MK \parallel AB$ и $MK = \frac{1}{2}AB$.
Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Аналогично, отрезок $NK$ соединяет середины сторон $AD$ и $AC$. Следовательно, $NK$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии, $NK$ параллельна стороне $CD$ и ее длина равна половине длины стороны $CD$. Таким образом:
$NK \parallel CD$ и $NK = \frac{1}{2}CD$.
Угол между двумя скрещивающимися прямыми по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным.
Поскольку $MK \parallel AB$, угол между прямой $MN$ и прямой $AB$ равен углу между прямой $MN$ и прямой $MK$. В треугольнике $KMN$ этот угол соответствует $\angle KMN$.
Поскольку $NK \parallel CD$, угол между прямой $MN$ и прямой $CD$ равен углу между прямой $MN$ и прямой $NK$. В треугольнике $KMN$ этот угол соответствует $\angle KNM$.
Следовательно, задача сводится к доказательству равенства углов $\angle KMN$ и $\angle KNM$ в треугольнике $KMN$.
Из условия задачи нам известно, что $AB = CD$. Используя выведенные ранее соотношения для длин $MK$ и $NK$, получаем:
$MK = \frac{1}{2}AB$ и $NK = \frac{1}{2}CD$.
Так как $AB = CD$, то и $MK = NK$.
Треугольник $KMN$, в котором две стороны ($MK$ и $NK$) равны, является равнобедренным с основанием $MN$. В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к основанию, равны. Следовательно, $\angle KMN = \angle KNM$.
Так как мы установили, что угол между $AB$ и $MN$ равен $\angle KMN$, а угол между $CD$ и $MN$ равен $\angle KNM$, то из равенства $\angle KMN = \angle KNM$ следует, что прямые $AB$ и $CD$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков $BC$ и $AD$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение, данное в условии задачи, доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 47 расположенного на странице 20 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №47 (с. 20), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.