Номер 46, страница 20 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

46. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что:

а) m и АС — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними;

б) m и AD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128°.

а) Докажем, что прямые $m$ и $AC$ — скрещивающиеся. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости, то есть не пересекаются и не параллельны.
Пусть плоскость ромба $ABCD$ обозначается как $\alpha$. По условию, прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $m$ не лежит в этой плоскости.
1. Проверим, пересекаются ли прямые $m$ и $AC$. Предположим, что они пересекаются в некоторой точке $K$. Так как прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$, то и точка $K$ принадлежит этой плоскости. Но если точка $K$ прямой $m$ лежит в плоскости $\alpha$, то либо прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в этой точке, либо лежит в ней. По условию, $m \parallel BD$ и $BD \subset \alpha$. Если бы $m$ пересекала $\alpha$, то она пересекала бы и $BD$ (по свойству параллельных прямых и плоскости), что противоречит их параллельности. Если бы $m$ лежала в $\alpha$, это бы противоречило условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $m$ и $AC$ не пересекаются.
2. Проверим, параллельны ли прямые $m$ и $AC$. По условию, $m \parallel BD$. В ромбе диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются. Если бы $m \parallel AC$, то по свойству транзитивности параллельных прямых следовало бы, что $AC \parallel BD$. Но это не так, они пересекаются. Значит, $m$ и $AC$ не параллельны.
Так как прямые $m$ и $AC$ не пересекаются и не параллельны, они являются скрещивающимися.
Теперь найдем угол между ними. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным.
Поскольку $m \parallel BD$, угол между прямыми $m$ и $AC$ равен углу между диагоналями ромба $BD$ и $AC$. По свойству ромба, его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) Докажем, что прямые $m$ и $AD$ — скрещивающиеся. Используем ту же логику, что и в пункте а).
1. Пересечение. Прямая $AD$ лежит в плоскости ромба $\alpha$, а $m$ — нет. Если бы они пересекались, точка пересечения лежала бы в $\alpha$, что привело бы к противоречию с условием, что $m$ не лежит в $\alpha$ и $m \parallel BD$. Значит, они не пересекаются.
2. Параллельность. По условию, $m \parallel BD$. Прямые $AD$ и $BD$ не параллельны, так как они имеют общую точку $D$. Следовательно, $m$ и $AD$ не могут быть параллельны.
Таким образом, прямые $m$ и $AD$ являются скрещивающимися.
Найдем угол между ними. Угол между $m$ и $AD$ равен углу между $BD$ и $AD$, так как $m \parallel BD$. Этот угол — $\angle ADB$.
Рассмотрим ромб $ABCD$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$.
$\angle BAD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.
Так как все стороны ромба равны, то $AB=AD$. Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ADB = \angle ABD$.
Сумма углов треугольника $ABD$ равна $180^\circ$:
$\angle BAD + \angle ADB + \angle ABD = 180^\circ$
$52^\circ + 2 \cdot \angle ADB = 180^\circ$
$2 \cdot \angle ADB = 180^\circ - 52^\circ$
$2 \cdot \angle ADB = 128^\circ$
$\angle ADB = \frac{128^\circ}{2} = 64^\circ$.
Следовательно, угол между прямыми $m$ и $AD$ равен $64^\circ$.
Ответ: $64^\circ$.