Номер 52, страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

52. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α.

Пусть дан треугольник $ABC$ и плоскость $\alpha$. По условию задачи, две его стороны, например $AB$ и $BC$, параллельны плоскости $\alpha$.

Дано:
$\triangle ABC$
Плоскость $\alpha$
$AB \parallel \alpha$
$BC \parallel \alpha$

Доказать:
$AC \parallel \alpha$

Доказательство:

Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, как $\beta$. Вершины $A$, $B$, $C$ однозначно определяют эту плоскость.
Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения плоскости треугольника $\beta$ и данной плоскости $\alpha$.

Случай 1: Плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$).
Если плоскость, в которой лежит треугольник, параллельна плоскости $\alpha$, то по определению параллельных плоскостей любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$, параллельна плоскости $\alpha$. Так как сторона $AC$ является прямой, лежащей в плоскости $\beta$ ($AC \subset \beta$), то из этого следует, что $AC \parallel \alpha$. В этом случае утверждение доказано.

Случай 2: Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$.
Предположим, что плоскость $\beta$ не параллельна плоскости $\alpha$. Тогда эти плоскости должны пересекаться по некоторой прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $l$ (то есть $\beta \cap \alpha = l$).
Из условия задачи мы знаем, что сторона $AB$ параллельна плоскости $\alpha$ ($AB \parallel \alpha$). При этом прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$ ($AB \subset \beta$). Согласно свойству параллельных прямой и плоскости, если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($AB$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость (по прямой $l$), то линия пересечения плоскостей ($l$) параллельна исходной прямой ($AB$). Следовательно, мы получаем, что $AB \parallel l$.
Аналогичные рассуждения применим к стороне $BC$. По условию $BC \parallel \alpha$ и $BC \subset \beta$. Применяя то же самое свойство, получаем, что $BC \parallel l$.
Таким образом, мы пришли к выводу, что в плоскости $\beta$ две прямые $AB$ и $BC$, которые пересекаются в точке $B$, одновременно параллельны одной и той же прямой $l$. Это противоречит аксиоме параллельных прямых Евклида, согласно которой через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Из этой аксиомы следует, что если две прямые, проходящие через одну точку, параллельны третьей прямой, то они должны совпадать. Это означало бы, что прямые $AB$ и $BC$ совпадают, а точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, что противоречит условию, что $ABC$ — это треугольник.
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, является неверным.

Следовательно, остается единственно возможный вариант — это первый случай: плоскость треугольника $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$. Как было показано, если $\beta \parallel \alpha$, то любая прямая в плоскости $\beta$, включая сторону $AC$, параллельна плоскости $\alpha$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если две стороны треугольника параллельны некоторой плоскости, то и третья сторона этого треугольника параллельна той же плоскости.