Номер 51, страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

51. Докажите, что плоскости α и β параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости α параллельны плоскости β.

Пусть даны плоскость $\alpha$, в которой лежат две прямые $m$ и $n$, пересекающиеся в точке $P$, и плоскость $\beta$. По условию задачи, прямая $m$ параллельна плоскости $\beta$ ($m \parallel \beta$), и прямая $n$ параллельна плоскости $\beta$ ($n \parallel \beta$). Требуется доказать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту линию пересечения буквой $c$. Таким образом, мы предполагаем, что $\alpha \cap \beta = c$.

Рассмотрим прямую $m$. Она полностью лежит в плоскости $\alpha$ ($m \subset \alpha$). По условию, $m$ параллельна плоскости $\beta$. Прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку является линией пересечения) и одновременно лежит в плоскости $\beta$ ($c \subset \beta$). Из того, что $m \parallel \beta$, следует, что прямая $m$ не имеет общих точек с плоскостью $\beta$, а значит, и с любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе с прямой $c$. Прямые $m$ и $c$ лежат в одной плоскости ($\alpha$) и не пересекаются, следовательно, они параллельны: $m \parallel c$.

Проведем аналогичные рассуждения для прямой $n$. Прямая $n$ лежит в плоскости $\alpha$ ($n \subset \alpha$) и по условию параллельна плоскости $\beta$. Прямая $c$ также лежит в плоскости $\alpha$. По тем же причинам, что и для прямой $m$, прямая $n$ не может пересекать прямую $c$. Так как $n$ и $c$ лежат в одной плоскости $\alpha$ и не пересекаются, они должны быть параллельны: $n \parallel c$.

Итак, мы пришли к выводу, что $m \parallel c$ и $n \parallel c$. Это означает, что через точку $P$ (в которой по условию пересекаются $m$ и $n$) проходят две различные прямые, $m$ и $n$, которые обе параллельны третьей прямой $c$.

Это утверждение противоречит аксиоме о параллельных прямых (а точнее, следствию из нее), согласно которому через точку, не лежащую на данной прямой, может проходить только одна прямая, параллельная данной. В нашем случае через точку $P$ проходят две прямые, параллельные $c$, что невозможно.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, было неверным. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ не имеют общих точек.

По определению, две плоскости, не имеющие общих точек, являются параллельными. Следовательно, $\alpha \parallel \beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.