Номер 55, страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

55. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость α, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости α.

Решение

Рассмотрим произвольную плоскость β, параллельную плоскости α. Через какую-нибудь точку В плоскости β проведём прямую b, параллельную прямой а. Так как прямая а пересекает плоскость α, то прямая b также пересекает эту плоскость. Следовательно, прямая b пересекает плоскость β (а не лежит в ней). Поэтому прямая а также пересекает плоскость β.

Решение

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть дана прямая $a$, которая пересекает плоскость $\alpha$. Обозначим их точку пересечения как $M$. Таким образом, $a \cap \alpha = \{M\}$. Также пусть дана плоскость $\beta$, такая что $\beta \parallel \alpha$.

Предположим, что прямая $a$ не пересекает плоскость $\beta$. В таком случае возможны два варианта: либо прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$, либо прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$.

Рассмотрим первый вариант: прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).
Существует теорема стереометрии: если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она либо параллельна и второй плоскости, либо лежит в ней. Поскольку мы предположили, что $a \parallel \beta$, и дано, что $\beta \parallel \alpha$, то из этого следует, что либо $a \parallel \alpha$, либо $a \subset \alpha$. Оба эти вывода противоречат начальному условию, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Следовательно, этот вариант невозможен.

Рассмотрим второй вариант: прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$).
По определению, параллельные плоскости не имеют общих точек, то есть их пересечение является пустым множеством: $\alpha \cap \beta = \emptyset$. Если прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\beta$, то она не может иметь общих точек с плоскостью $\alpha$. Это также противоречит условию, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Следовательно, и этот вариант невозможен.

Поскольку оба возможных следствия из нашего предположения (что прямая $a$ не пересекает плоскость $\beta$) приводят к противоречию, само предположение является ложным.

Таким образом, единственно верным является утверждение, что прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она обязательно пересекает и вторую.