Номер 60, страница 24 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 3. Параллельность плоскостей. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 60, страница 24.

Условие.

60. Две плоскости α и β параллельны плоскости γ. Докажите, что плоскости α и β параллельны.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Данное утверждение является свойством транзитивности параллельности плоскостей. Для его доказательства воспользуемся методом от противного.

По условию дано, что плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \alpha \parallel \gamma $) и плоскость $ \beta $ параллельна плоскости $ \gamma $ ($ \beta \parallel \gamma $).

Предположим, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не параллельны. Если две плоскости не параллельны, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $ a $.

Выберем на прямой $ a $ произвольную точку $ M $. Поскольку прямая $ a $ является линией пересечения плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $, то точка $ M $ принадлежит обеим этим плоскостям, то есть $ M \in \alpha $ и $ M \in \beta $.

Из условия мы знаем, что $ \alpha \parallel \gamma $. Это означает, что плоскости $ \alpha $ и $ \gamma $ не имеют общих точек. Следовательно, точка $ M $, принадлежащая плоскости $ \alpha $, не может принадлежать плоскости $ \gamma $. Значит, $ M \notin \gamma $.

Таким образом, мы установили, что через точку $ M $, не лежащую в плоскости $ \gamma $, проходят две плоскости: $ \alpha $ и $ \beta $. По нашему предположению, эти плоскости различны (так как они пересекаются), и каждая из них по условию параллельна плоскости $ \gamma $.

Это приводит к противоречию с теоремой (следствием из аксиомы параллельных прямых), которая гласит: через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Так как мы пришли к противоречию, наше исходное предположение о том, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ пересекаются, является неверным. Отсюда следует, что плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ не имеют общих точек.

Две плоскости, которые не имеют общих точек, по определению параллельны. Следовательно, $ \alpha \parallel \beta $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны.