Номер 54, страница 23 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

54. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно.

а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см².

а)

Для доказательства параллельности плоскостей $MNP$ и $ADC$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

1. Рассмотрим треугольник $BAC$. По условию, $M$ — середина стороны $BA$, а $N$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $BAC$. По свойству средней линии, прямая $MN$ параллельна прямой $AC$ ($MN \parallel AC$).

2. Рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, $N$ — середина стороны $BC$, а $P$ — середина стороны $BD$. Следовательно, отрезок $NP$ является средней линией треугольника $BCD$. По свойству средней линии, прямая $NP$ параллельна прямой $CD$ ($NP \parallel CD$).

3. Мы имеем две пересекающиеся прямые $MN$ и $NP$ в плоскости $MNP$ (они пересекаются в точке $N$), которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $AC$ и $CD$ в плоскости $ADC$ (они пересекаются в точке $C$).

Таким образом, по признаку параллельности плоскостей, плоскость $(MNP)$ параллельна плоскости $(ADC)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим треугольники $MNP$ и $ADC$. Как было показано в пункте а), $MN \parallel AC$ и $NP \parallel CD$. Кроме того, по свойству средней линии $MN = \frac{1}{2}AC$ и $NP = \frac{1}{2}CD$.

Аналогично, в треугольнике $BAD$ отрезок $MP$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $BA$ и $BD$. Следовательно, $MP \parallel AD$ и $MP = \frac{1}{2}AD$.

Поскольку стороны треугольника $MNP$ соответственно параллельны сторонам треугольника $ADC$, эти треугольники подобны ($\triangle MNP \sim \triangle ADC$). Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон:

$k = \frac{MN}{AC} = \frac{NP}{CD} = \frac{MP}{AD} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{MNP}}{S_{ADC}} = k^2$

Подставляем известные значения, где $S_{ADC} = 48$ см?:

$\frac{S_{MNP}}{48} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда находим площадь треугольника $MNP$:

$S_{MNP} = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$ см?.

Ответ: 12 см?.