Номер 67, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 67, страница 31.

67. В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 54°, ∠BDC = 72°, ∠CDA = 90°, DA = 20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) рёбра основания ABC данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.

а) рёбра основания ABC данного тетраэдра

Основанием тетраэдра DABC является треугольник ABC. Его рёбра (стороны) AB, BC и AC находятся как третья сторона в каждой из трёх боковых граней: $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$ соответственно. Для нахождения длин этих рёбер воспользуемся теоремой косинусов и теоремой Пифагора.

Найдём длину ребра AB из $\triangle ADB$:
По теореме косинусов для $\triangle ADB$ с известными сторонами $DA = 20$ см, $BD = 18$ см и углом между ними $\angle ADB = 54^\circ$:
$AB^2 = DA^2 + BD^2 - 2 \cdot DA \cdot BD \cdot \cos(\angle ADB)$
$AB^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(54^\circ)$
$AB^2 = 400 + 324 - 720\cos(54^\circ) = 724 - 720\cos(54^\circ)$
$AB = \sqrt{724 - 720\cos(54^\circ)} \approx \sqrt{724 - 720 \cdot 0.5878} \approx \sqrt{300.784} \approx 17.34$ см.

Найдём длину ребра BC из $\triangle BDC$:
По теореме косинусов для $\triangle BDC$ с известными сторонами $BD = 18$ см, $DC = 21$ см и углом между ними $\angle BDC = 72^\circ$:
$BC^2 = BD^2 + DC^2 - 2 \cdot BD \cdot DC \cdot \cos(\angle BDC)$
$BC^2 = 18^2 + 21^2 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot \cos(72^\circ)$
$BC^2 = 324 + 441 - 756\cos(72^\circ) = 765 - 756\cos(72^\circ)$
$BC = \sqrt{765 - 756\cos(72^\circ)} \approx \sqrt{765 - 756 \cdot 0.3090} \approx \sqrt{531.406} \approx 23.05$ см.

Найдём длину ребра AC из $\triangle CDA$:
Поскольку $\angle CDA = 90^\circ$, $\triangle CDA$ является прямоугольным с катетами $DA = 20$ см и $DC = 21$ см. По теореме Пифагора:
$AC^2 = DA^2 + DC^2$
$AC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$
$AC = \sqrt{841} = 29$ см.

Ответ: Длины рёбер основания равны $AB \approx 17.34$ см, $BC \approx 23.05$ см, $AC = 29$ см.

б) площади всех боковых граней

Боковыми гранями тетраэдра являются треугольники ADB, BDC и CDA. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Площадь грани ADB ($S_{ADB}$):
$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DB \cdot \sin(\angle ADB)$
$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot \sin(54^\circ) = 180\sin(54^\circ)$
$S_{ADB} \approx 180 \cdot 0.8090 \approx 145.62$ см$^2$.

Площадь грани BDC ($S_{BDC}$):
$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC)$
$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 21 \cdot \sin(72^\circ) = 189\sin(72^\circ)$
$S_{BDC} \approx 189 \cdot 0.9511 \approx 179.76$ см$^2$.

Площадь грани CDA ($S_{CDA}$):
Так как $\triangle CDA$ — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
$S_{CDA} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DC$
$S_{CDA} = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 210$ см$^2$.

Ответ: Площади боковых граней равны $S_{ADB} \approx 145.62$ см$^2$, $S_{BDC} \approx 179.76$ см$^2$, $S_{CDA} = 210$ см$^2$.