Номер 74, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

74. Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани ABC.

а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

a) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику ABC.

Пусть M – точка пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD. Эта точка является центроидом треугольника BCD. Обозначим секущую плоскость через $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку M и параллельна плоскости грани ABC.

Так как плоскость $\alpha$ параллельна плоскости (ABC), она будет пересекать ребра тетраэдра AD, BD и CD, выходящие из вершины D. Обозначим точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами AD, BD и CD как $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно.

Фигура, образованная в сечении, является треугольником $A_1B_1C_1$. Докажем это и его подобие треугольнику ABC.

1. Рассмотрим плоскость грани (ABD). Она пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и (ABC). По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Линия пересечения плоскости (ABD) с плоскостью (ABC) – это прямая AB. Линия пересечения плоскости (ABD) с плоскостью $\alpha$ – это прямая $A_1B_1$. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$.

2. Аналогично, рассмотрим плоскость грани (ACD). Линия ее пересечения с плоскостью (ABC) – это прямая AC, а с плоскостью $\alpha$ – прямая $A_1C_1$. Следовательно, $A_1C_1 \parallel AC$.

3. Рассмотрим плоскость грани (BCD). Линия ее пересечения с плоскостью (ABC) – это прямая BC, а с плоскостью $\alpha$ – прямая $B_1C_1$. Следовательно, $B_1C_1 \parallel BC$.

Итак, сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$ есть треугольник $A_1B_1C_1$.

Теперь докажем, что $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$.

Поскольку $A_1B_1 \parallel AB$, треугольники $\triangle DA_1B_1$ и $\triangle DAB$ подобны по двум углам (угол при вершине D общий, $\angle DA_1B_1 = \angle DAB$ как соответственные). Из подобия следует пропорциональность сторон:

$\frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Поскольку $A_1C_1 \parallel AC$, треугольники $\triangle DA_1C_1$ и $\triangle DAC$ подобны. Из их подобия следует:

$\frac{DA_1}{DA} = \frac{DC_1}{DC} = \frac{A_1C_1}{AC}$

Объединяя эти два соотношения, получаем:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{DA_1}{DA}$

Также, так как $B_1C_1 \parallel BC$, треугольники $\triangle DB_1C_1$ и $\triangle DBC$ подобны. Из их подобия следует:

$\frac{DB_1}{DB} = \frac{DC_1}{DC} = \frac{B_1C_1}{BC}$

Из всех полученных соотношений следует, что стороны треугольников $A_1B_1C_1$ и $ABC$ пропорциональны:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC}$

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам), $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что сечение тетраэдра данной плоскостью является треугольником, подобным треугольнику ABC.

б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника ABC.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$.

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2$

Из пункта а) мы знаем, что коэффициент подобия $k = \frac{DA_1}{DA}$. Найдем его значение.

Пусть DK – медиана треугольника BCD, проведенная из вершины D к стороне BC (K – середина BC). Точка M, как центроид треугольника BCD, лежит на медиане DK и делит ее в отношении $DM:MK = 2:1$, считая от вершины D. Отсюда следует, что:

$\frac{DM}{DK} = \frac{DM}{DM+MK} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

Плоскость сечения $\alpha$ проходит через точку M и пересекает плоскость (BCD) по прямой $B_1C_1$, которая параллельна BC. Так как M лежит в обеих плоскостях ($\alpha$ и (BCD)), точка M принадлежит прямой $B_1C_1$.

Рассмотрим треугольник DBC. В нем проведена медиана DK и отрезок $B_1C_1$, параллельный стороне BC, причем точка M лежит на $B_1C_1$ и DK. Треугольники $\triangle DB_1C_1$ и $\triangle DBC$ подобны, так как $B_1C_1 \parallel BC$.

При этом подобии отрезок DM является частью медианы DK, и отношение их длин равно коэффициенту подобия этих треугольников. Таким образом, коэффициент подобия $\triangle DB_1C_1$ и $\triangle DBC$ равен $\frac{DM}{DK}$.

Из подобия $\triangle DB_1C_1 \sim \triangle DBC$ следует:

$\frac{DB_1}{DB} = \frac{DM}{DK} = \frac{2}{3}$

Теперь вернемся к подобию треугольников $\triangle DA_1B_1$ и $\triangle DAB$ (из пункта а)). Их коэффициент подобия равен:

$k = \frac{DA_1}{DA} = \frac{DB_1}{DB}$

Подставляя найденное значение, получаем, что коэффициент подобия треугольников $A_1B_1C_1$ и ABC равен:

$k = \frac{2}{3}$

Теперь можем найти отношение их площадей:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

Ответ: 4/9.