Номер 76, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

76. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что AC || A₁C₁ и BD || B₁D₁.

По определению, параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это многогранник, у которого все шесть граней являются параллелограммами. Это означает, что противолежащие стороны каждой грани параллельны и равны.

Доказательство $AC \parallel A_1C_1$

Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$, образованный диагоналями оснований $AC$, $A_1C_1$ и боковыми ребрами $AA_1$, $CC_1$. Чтобы доказать параллельность прямых $AC$ и $A_1C_1$, мы докажем, что четырехугольник $ACC_1A_1$ является параллелограммом.

Поскольку грань $AA_1B_1B$ является параллелограммом, ее противолежащие стороны $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны: $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$.

Аналогично, поскольку грань $BB_1C_1C$ является параллелограммом, ее противолежащие стороны $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны: $BB_1 \parallel CC_1$ и $BB_1 = CC_1$.

Из этих соотношений по свойству транзитивности следует, что $AA_1 \parallel CC_1$ (так как обе прямые параллельны $BB_1$) и $AA_1 = CC_1$ (так как длины обоих отрезков равны длине $BB_1$).

Таким образом, в четырехугольнике $ACC_1A_1$ две противолежащие стороны ($AA_1$ и $CC_1$) параллельны и равны. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ACC_1A_1$ — параллелограмм.

Так как $ACC_1A_1$ — параллелограмм, то его другие противолежащие стороны, $AC$ и $A_1C_1$, также параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Доказательство $BD \parallel B_1D_1$

Рассмотрим четырехугольник $BDD_1B_1$, образованный диагоналями оснований $BD$, $B_1D_1$ и боковыми ребрами $BB_1$, $DD_1$. Доказательство проводится аналогично предыдущему пункту.

Так как грань $AA_1B_1B$ — параллелограмм, то $BB_1 \parallel AA_1$ и $BB_1 = AA_1$.

Так как грань $AA_1D_1D$ — параллелограмм, то $DD_1 \parallel AA_1$ и $DD_1 = AA_1$.

Следовательно, по свойству транзитивности, $BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$.

В четырехугольнике $BDD_1B_1$ две противолежащие стороны ($BB_1$ и $DD_1$) параллельны и равны, значит, по признаку параллелограмма, $BDD_1B_1$ является параллелограммом.

Поскольку $BDD_1B_1$ — параллелограмм, его противолежащие стороны $BD$ и $B_1D_1$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.