Номер 82, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

82. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте внутреннюю точку М грани АА₁B₁В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани BB₁C₁C; в) плоскости BDD₁.

Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и отметим произвольную внутреннюю точку $M$ на грани $AA_1B_1B$.

Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно заданной плоскости, основывается на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

а) Построение сечения, параллельного плоскости основания ABCD

1. Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, $\alpha$ проходит через точку $M$ и $\alpha \parallel (ABCD)$. Точка $M$ принадлежит плоскости грани $(AA_1B_1B)$.

2. Плоскость $(AA_1B_1B)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$ по прямой $AB$. Поскольку $\alpha \parallel (ABCD)$, то плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость $(AA_1B_1B)$ по прямой, которая проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AB$. Проведем эту прямую в плоскости $(AA_1B_1B)$. Пусть она пересекает ребра $AA_1$ и $BB_1$ в точках $M_1$ и $M_2$ соответственно. Отрезок $M_1M_2$ — это след сечения на грани $AA_1B_1B$.

3. Точка $M_2$ лежит на ребре $BB_1$ и, следовательно, в плоскости грани $(BB_1C_1C)$. Плоскость $(BB_1C_1C)$ пересекает плоскость $(ABCD)$ по прямой $BC$. Так как $\alpha \parallel (ABCD)$, след сечения на грани $(BB_1C_1C)$ — это прямая, проходящая через $M_2$ параллельно $BC$. Проведем эту прямую до пересечения с ребром $CC_1$ в точке $M_3$. Получаем отрезок $M_2M_3$.

4. Аналогично, из точки $M_3$, принадлежащей грани $(CC_1D_1D)$, проведем прямую, параллельную прямой $CD$ (линии пересечения плоскостей $(CC_1D_1D)$ и $(ABCD)$). Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в точке $M_4$. Получаем отрезок $M_3M_4$.

5. Соединим точки $M_4$ и $M_1$. Отрезок $M_4M_1$ лежит в плоскости грани $(AA_1D_1D)$. Так как плоскости противоположных граней параллелепипеда параллельны, отрезки сечения на них также будут параллельны. В частности, $M_4M_1 \parallel M_2M_3$. Кроме того, $M_4M_1 \parallel AD$.

В результате получаем четырехугольник $M_1M_2M_3M_4$. Так как его противолежащие стороны попарно параллельны ($M_1M_2 \parallel M_3M_4$ как следы на параллельных гранях и $M_2M_3 \parallel M_4M_1$ по той же причине), то он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $M_1M_2M_3M_4$, вершины которого лежат на боковых ребрах параллелепипеда ($M_1 \in AA_1$, $M_2 \in BB_1$, $M_3 \in CC_1$, $M_4 \in DD_1$), а стороны параллельны соответствующим сторонам основания.

б) Построение сечения, параллельного грани BB?C?C

1. Обозначим искомую плоскость сечения как $\beta$. По условию, $\beta$ проходит через точку $M \in (AA_1B_1B)$ и $\beta \parallel (BB_1C_1C)$.

2. Плоскость $(AA_1B_1B)$ пересекается с плоскостью $(BB_1C_1C)$ по прямой $BB_1$. Так как $\beta \parallel (BB_1C_1C)$, то след сечения на грани $(AA_1B_1B)$ — это прямая, проходящая через $M$ параллельно $BB_1$. Проведем эту прямую. Пусть она пересекает ребра $AB$ и $A_1B_1$ в точках $N_1$ и $N_2$ соответственно. Отрезок $N_1N_2$ — это след сечения на грани $AA_1B_1B$.

3. Точка $N_1$ лежит на ребре $AB$ и, следовательно, в плоскости основания $(ABCD)$. Плоскость $(ABCD)$ пересекается с плоскостью $(BB_1C_1C)$ по прямой $BC$. Проведем через $N_1$ в плоскости $(ABCD)$ прямую, параллельную $BC$. Она пересечет ребро $CD$ в точке $N_3$. Отрезок $N_1N_3$ — это след сечения на основании $ABCD$.

4. Точка $N_2$ лежит на ребре $A_1B_1$ и, следовательно, в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ пересекается с плоскостью $(BB_1C_1C)$ по прямой $B_1C_1$. Проведем через $N_2$ в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ прямую, параллельную $B_1C_1$. Она пересечет ребро $C_1D_1$ в точке $N_4$. Отрезок $N_2N_4$ — это след сечения на грани $A_1B_1C_1D_1$.

5. Соединим точки $N_3$ и $N_4$. Этот отрезок лежит в грани $(CC_1D_1D)$. Так как $N_1N_2 \parallel BB_1$ и $BB_1 \parallel CC_1$, то $N_3N_4$ будет автоматически параллелен $CC_1$ и $N_1N_2$. Четырехугольник $N_1N_2N_4N_3$ — искомое сечение. Он является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $N_1N_2N_4N_3$, вершины которого лежат на ребрах $AB, A_1B_1, C_1D_1, CD$.

в) Построение сечения, параллельного плоскости BDD?

Плоскость, определяемая тремя точками $B$, $D$ и $D_1$, также содержит и точку $B_1$, так как $B_1$ лежит на прямой, проходящей через $B$ параллельно $DD_1$. Таким образом, плоскость $(BDD_1)$ — это диагональная плоскость $(BDD_1B_1)$.

1. Обозначим искомую плоскость сечения как $\gamma$. По условию, $\gamma$ проходит через точку $M \in (AA_1B_1B)$ и $\gamma \parallel (BDD_1B_1)$.

2. Плоскость грани $(AA_1B_1B)$ пересекается с плоскостью $(BDD_1B_1)$ по прямой $BB_1$. Так как $\gamma \parallel (BDD_1B_1)$, ее след на грани $(AA_1B_1B)$ — это прямая, проходящая через $M$ параллельно $BB_1$. Проведем эту прямую. Пусть она пересекает ребра $AB$ и $A_1B_1$ в точках $K_1$ и $K_2$ соответственно. Отрезок $K_1K_2$ — это часть сечения.

3. Точка $K_1$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$. Плоскость $(ABCD)$ пересекается с плоскостью $(BDD_1B_1)$ по диагонали $BD$. Так как $\gamma \parallel (BDD_1B_1)$, ее след на основании $(ABCD)$ — это прямая, проходящая через $K_1$ параллельно $BD$. Проведем эту прямую в плоскости $(ABCD)$. Она пересечет ребро $AD$ в точке $K_3$. Отрезок $K_1K_3$ — это часть сечения.

4. Точка $K_2$ лежит в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Эта плоскость пересекается с плоскостью $(BDD_1B_1)$ по диагонали $B_1D_1$. След сечения $\gamma$ на верхней грани — это прямая, проходящая через $K_2$ параллельно $B_1D_1$. Проведем эту прямую в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$. Она пересечет ребро $A_1D_1$ в точке $K_4$. Отрезок $K_2K_4$ — это часть сечения.

5. Точки $K_3$ и $K_4$ лежат в плоскости грани $(AA_1D_1D)$. Соединим их. Отрезок $K_3K_4$ замыкает сечение. По построению, $K_1K_3 \parallel BD$ и $K_2K_4 \parallel B_1D_1$. Так как $BD \parallel B_1D_1$, то $K_1K_3 \parallel K_2K_4$. Аналогично, $K_1K_2 \parallel BB_1$. Плоскость сечения $\gamma$ пересекает параллельные плоскости $(AA_1D_1D)$ и $(BB_1C_1C)$ по параллельным прямым. Линия пересечения $\gamma$ и $(AA_1D_1D)$ — это $K_3K_4$. Линия пересечения $(BDD_1B_1)$ и $(AA_1D_1D)$ — это $DD_1$. Так как $\gamma \parallel (BDD_1B_1)$, то $K_3K_4 \parallel DD_1$. Поскольку $BB_1 \parallel DD_1$, получаем $K_1K_2 \parallel K_3K_4$.

В результате получаем четырехугольник $K_1K_3K_4K_2$. Так как его противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $K_1K_3K_4K_2$, вершины которого лежат на ребрах $AB, AD, A_1D_1, A_1B_1$.