Номер 2, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

2. Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? Сколько из этих прямых параллельны прямой а?

Сколько прямых, не пересекающих прямую a, проходит через точку M?
Для ответа на этот вопрос необходимо рассматривать задачу в трёхмерном пространстве (в стереометрии), так как в нём понятия «непересекающиеся прямые» и «параллельные прямые» не всегда эквивалентны. Две различные прямые в пространстве называются непересекающимися, если у них нет общих точек. Это возможно в двух случаях:
1. Прямые параллельны. Они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Согласно аксиоме параллельных прямых, через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, можно провести только одну прямую, параллельную прямой $a$.
2. Прямые скрещиваются. Они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямая $a$ и точка $M$ задают единственную плоскость $\alpha$. Любая прямая, которая проходит через точку $M$, но не лежит в плоскости $\alpha$, будет скрещиваться с прямой $a$. Через точку $M$ можно провести бесконечное множество таких прямых (например, вращая прямую вокруг точки $M$ вне плоскости $\alpha$).
Таким образом, общее количество прямых, которые проходят через точку $M$ и не пересекают прямую $a$, состоит из одной параллельной прямой и бесконечного множества скрещивающихся прямых. Суммарно это даёт бесконечное множество прямых.
Ответ: Бесконечно много.

Сколько из этих прямых параллельны прямой a?
Как было определено выше, множество всех прямых, проходящих через точку $M$ и не пересекающих прямую $a$, включает в себя как параллельные, так и скрещивающиеся прямые. Данный вопрос уточняет, какая часть из этого бесконечного множества прямых является именно параллельными.
Согласно основной аксиоме стереометрии, которая является следствием пятого постулата Евклида: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Следовательно, из всех непересекающих прямых, проходящих через точку $M$, только одна будет параллельна прямой $a$.
Ответ: Одна.