Номер 84, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 84, страница 32.

84. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В₁, D₁ и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Построение

1. Обозначим точку, являющуюся серединой ребра $CD$, буквой $M$. Нам нужно построить сечение, проходящее через точки $B_1, D_1, M$.
2. Точки $B_1$ и $D_1$ лежат в одной плоскости — плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединим их, получив отрезок $B_1D_1$, который является одной из сторон искомого сечения.
3. Точки $D_1$ и $M$ лежат в одной плоскости — плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединим их, получив отрезок $D_1M$, который является второй стороной сечения.
4. Теперь воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Плоскости оснований параллелепипеда параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1D_1)$.
5. Наша секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой $B_1D_1$. Следовательно, нижнее основание $(ABCD)$ она должна пересечь по прямой, параллельной $B_1D_1$. Эта прямая должна проходить через точку $M$, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости нижнего основания.
6. В параллелепипеде диагонали противоположных граней, соединяющие соответственные вершины, параллельны. Таким образом, диагональ $BD$ нижнего основания параллельна диагонали $B_1D_1$ верхнего основания ($BD \parallel B_1D_1$).
7. Из пунктов 5 и 6 следует, что в плоскости нижнего основания мы должны провести через точку $M$ прямую, параллельную $BD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BC$ в точке $K$. Отрезок $MK$ — третья сторона сечения.
8. Точки $B_1$ и $K$ лежат в одной плоскости — плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $B_1K$. Это четвертая сторона сечения.
9. В результате мы получили четырехугольник $B_1KD_1M$, который является искомым сечением.



Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $B_1KD_1M$.

Доказательство

Чтобы доказать, что четырехугольник $B_1KD_1M$ является трапецией, нужно доказать, что у него есть одна пара параллельных сторон, а другая пара сторон не параллельна.
1. Рассмотрим стороны $MK$ и $B_1D_1$. По построению (шаг 7) мы провели прямую $MK$ в плоскости $(ABCD)$ так, что $MK \parallel BD$.
2. Как было отмечено ранее (шаг 6), диагонали оснований $BD$ и $B_1D_1$ параллельны, так как они лежат в параллельных плоскостях и являются соответственными элементами равных параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. То есть, $BD \parallel B_1D_1$.
3. Из того, что $MK \parallel BD$ и $BD \parallel B_1D_1$, по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $MK \parallel B_1D_1$.
4. Таким образом, в четырехугольнике $B_1KD_1M$ есть пара параллельных сторон ($MK$ и $B_1D_1$), которые являются его основаниями.
5. Теперь докажем, что две другие стороны, $B_1K$ и $D_1M$, не параллельны. Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как $M$ — середина стороны $CD$, а отрезок $MK$ параллелен стороне $BD$, то по теореме Фалеса (или свойству средней линии) точка $K$ является серединой стороны $BC$. Таким образом, $CM = \frac{1}{2}CD$ и $BK = \frac{1}{2}BC$. В общем случае параллелепипеда $CD \neq BC$, поэтому отрезки $D_1M$ и $B_1K$ не равны. Также они не параллельны, так как векторы $\vec{D_1M}$ и $\vec{B_1K}$ не коллинеарны.
6. Поскольку четырехугольник $B_1KD_1M$ имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны, по определению он является трапецией.

Ответ: Построенное сечение $B_1KD_1M$ является трапецией, так как его стороны $MK$ и $B_1D_1$ параллельны, а стороны $B_1K$ и $D_1M$ не параллельны, что соответствует определению трапеции.