Номер 4, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

4. Прямая а параллельна плоскости α. Верно ли, что эта прямая:

а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α;

б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;

в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости α?

а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости $\alpha$;

Данное утверждение верно. Докажем это методом от противного. Предположим, что прямая $a$ пересекает некоторую прямую $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). Пусть точка их пересечения — $M$. Если прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все ее точки, включая точку $M$, принадлежат этой плоскости ($M \in \alpha$). В то же время, по нашему предположению, точка $M$ принадлежит и прямой $a$ ($M \in a$). Таким образом, получается, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют общую точку $M$, а это значит, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Это напрямую противоречит исходному условию, согласно которому прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Следовательно, наше начальное предположение было неверным. Прямая $a$ не может пересекать ни одну прямую, лежащую в плоскости $\alpha$. Прямая $a$ и любая прямая в плоскости $\alpha$ могут быть либо параллельными, либо скрещивающимися. В обоих случаях у них нет общих точек.

Ответ: Верно.

б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$;

Это утверждение неверно. Для опровержения достаточно привести один контрпример. В плоскости $\alpha$ можно провести бесконечное множество прямых с разными направлениями. Возьмем две произвольные пересекающиеся прямые, назовем их $b_1$ и $b_2$. Обе эти прямые лежат в плоскости $\alpha$. Если бы прямая $a$ была параллельна любой прямой в плоскости $\alpha$, она должна была бы быть параллельна и $b_1$, и $b_2$. То есть, $a \parallel b_1$ и $a \parallel b_2$. Согласно свойству транзитивности параллельности прямых в пространстве, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Отсюда следовало бы, что $b_1 \parallel b_2$. Но мы изначально выбрали $b_1$ и $b_2$ как пересекающиеся прямые. Полученное противоречие доказывает, что исходное утверждение ложно. Прямая $a$ не может быть параллельна всем прямым в плоскости $\alpha$.

Ответ: Неверно.

в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$?

Данное утверждение верно. Это одна из ключевых теорем стереометрии, связанная с параллельностью прямой и плоскости. Доказательство: Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, она не лежит в этой плоскости. Проведем через прямую $a$ любую плоскость $\beta$, которая пересекает плоскость $\alpha$ (такая плоскость всегда существует, если только $\beta$ не совпадает с $\alpha$ или не параллельна ей). Линией пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является некоторая прямая. Обозначим ее $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $c$. 1. Обе прямые, $a$ и $c$, лежат в одной плоскости $\beta$ по построению. 2. Прямая $a$ не может пересекать прямую $c$. Если бы они пересекались в точке $K$, то эта точка $K$ принадлежала бы прямой $c$, а значит и плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha \implies K \in \alpha$). Но точка $K$ также лежит на прямой $a$. Это означало бы, что прямая $a$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию $a \parallel \alpha$. Поскольку две прямые ($a$ и $c$) лежат в одной плоскости ($\beta$) и не пересекаются, они по определению параллельны: $a \parallel c$. Мы нашли прямую $c$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $a$. Утверждение доказано.

Ответ: Верно.