Страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

87. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и K лежат соответственно на рёбрах: а) ВВ₁, АА₁, AD; б) CC₁, AD, ВВ₁.

а)

Построим сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $MNK$, где точки $M, N, K$ лежат соответственно на рёбрах $BB_1$, $AA_1$, $AD$.

Порядок построения:

1. Точки $N$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ADD_1A_1$. Соединяем их отрезком $NK$. Это одна из сторон сечения.
2. Точки $N$ и $M$ лежат в одной плоскости грани $ABB_1A_1$. Соединяем их отрезком $NM$. Это вторая сторона сечения.
3. Плоскости граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Секущая плоскость $(MNK)$ пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения плоскости $(MNK)$ с гранью $BCC_1B_1$ будет параллельна прямой $NK$. Проведём через точку $M$, лежащую в плоскости $BCC_1B_1$, прямую, параллельную $NK$. Эта прямая пересечёт ребро $BC$ в некоторой точке $L$. Отрезок $ML$ — третья сторона сечения.
4. Точки $K$ и $L$ лежат в одной плоскости основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $KL$. Это четвёртая, замыкающая сторона сечения.

Все точки $K, N, M, L$ соединены, образуя замкнутый многоугольник $KNML$.

Ответ: Сечением является четырёхугольник $KNML$, построенный согласно описанным шагам.

б)

Построим сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $MNK$, где точки $M, N, K$ лежат соответственно на рёбрах $CC_1$, $AD$, $BB_1$. В этом случае никакие две из заданных точек не лежат в одной грани, поэтому будем использовать метод построения сечений, основанный на параллельности прямых пересечения секущей плоскости с параллельными гранями.

Порядок построения:

1. Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $MK$. Это первая сторона искомого сечения.
2. Плоскости граней $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ параллельны ($ (BCC_1B_1) \parallel (ADD_1A_1) $). Секущая плоскость $(MNK)$ пересекает эти грани по параллельным прямым. Через точку $N$, лежащую в плоскости $ADD_1A_1$, проведём прямую, параллельную $MK$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $L$. Отрезок $NL$ — вторая сторона сечения.
3. Точки $L$ и $M$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединяем их отрезком $LM$. Это третья сторона сечения.
4. Плоскости граней $DCC_1D_1$ и $ABB_1A_1$ параллельны ($ (DCC_1D_1) \parallel (ABB_1A_1) $). Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через точку $K$, лежащую в плоскости $ABB_1A_1$, проведём прямую, параллельную $LM$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AB$ в точке $P$. Отрезок $KP$ — четвёртая сторона сечения.
5. Точки $P$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $PN$. Это пятая, замыкающая сторона сечения.

Таким образом, все вершины сечения $N, L, M, K, P$ найдены и соединены в замкнутый многоугольник.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $NLMKP$, построенный согласно описанным шагам.

1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?

Данное утверждение не всегда верно. Его истинность зависит от того, в каком пространстве мы рассматриваем прямые: на плоскости или в трехмерном пространстве.

1. На плоскости (в планиметрии)

В рамках евклидовой геометрии на плоскости две различные прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо не пересекаться вовсе. По определению, две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Таким образом, для прямых, которые заведомо лежат в одной плоскости, утверждение верно.

2. В пространстве (в стереометрии)

В трехмерном пространстве взаимное расположение двух прямых сложнее. Помимо пересекающихся и параллельных прямых, существует третий случай.

• Пересекающиеся прямые: имеют одну общую точку и лежат в одной плоскости.
• Параллельные прямые: не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.
• Скрещивающиеся прямые: не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.

Следовательно, в пространстве существуют прямые, которые не имеют общих точек, но не являются параллельными – это скрещивающиеся прямые. Например, в кубе ребро $A A_1$ и ребро $B C$ не имеют общих точек, но они не параллельны, так как не существует плоскости, содержащей их обе. Они являются скрещивающимися.

Поскольку вопрос не уточняет, рассматривается ли геометрия на плоскости или в пространстве, нужно учитывать общий случай. В общем случае (в пространстве) существуют прямые без общих точек, которые не являются параллельными.

Ответ: Утверждение в общем случае неверно. Оно справедливо только для прямых, лежащих в одной плоскости (в планиметрии). В трехмерном пространстве существуют также скрещивающиеся прямые, которые не имеют общих точек, но и не являются параллельными.

2. Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? Сколько из этих прямых параллельны прямой а?

Сколько прямых, не пересекающих прямую a, проходит через точку M?
Для ответа на этот вопрос необходимо рассматривать задачу в трёхмерном пространстве (в стереометрии), так как в нём понятия «непересекающиеся прямые» и «параллельные прямые» не всегда эквивалентны. Две различные прямые в пространстве называются непересекающимися, если у них нет общих точек. Это возможно в двух случаях:
1. Прямые параллельны. Они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Согласно аксиоме параллельных прямых, через точку $M$, не лежащую на прямой $a$, можно провести только одну прямую, параллельную прямой $a$.
2. Прямые скрещиваются. Они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямая $a$ и точка $M$ задают единственную плоскость $\alpha$. Любая прямая, которая проходит через точку $M$, но не лежит в плоскости $\alpha$, будет скрещиваться с прямой $a$. Через точку $M$ можно провести бесконечное множество таких прямых (например, вращая прямую вокруг точки $M$ вне плоскости $\alpha$).
Таким образом, общее количество прямых, которые проходят через точку $M$ и не пересекают прямую $a$, состоит из одной параллельной прямой и бесконечного множества скрещивающихся прямых. Суммарно это даёт бесконечное множество прямых.
Ответ: Бесконечно много.

Сколько из этих прямых параллельны прямой a?
Как было определено выше, множество всех прямых, проходящих через точку $M$ и не пересекающих прямую $a$, включает в себя как параллельные, так и скрещивающиеся прямые. Данный вопрос уточняет, какая часть из этого бесконечного множества прямых является именно параллельными.
Согласно основной аксиоме стереометрии, которая является следствием пятого постулата Евклида: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Следовательно, из всех непересекающих прямых, проходящих через точку $M$, только одна будет параллельна прямой $a$.
Ответ: Одна.

3. Прямые а и с параллельны, а прямые а и b пересекаются. Могут ли прямые b и с быть параллельными?

Для решения этой задачи можно использовать метод доказательства от противного, основанный на аксиоме о параллельных прямых.

Дано:
1. Прямые $a$ и $c$ параллельны, что записывается как $a \parallel c$.
2. Прямые $a$ и $b$ пересекаются.

Вопрос: Могут ли прямые $b$ и $c$ быть параллельными ($b \parallel c$)?

Рассуждение:
Предположим, что прямые $b$ и $c$ всё-таки параллельны ($b \parallel c$).
Тогда мы имеем следующую систему утверждений:
1. $a \parallel c$ (из условия задачи).
2. $b \parallel c$ (наше предположение).

В евклидовой геометрии существует теорема (следствие из аксиомы параллельности), которая гласит: если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Применяя эту теорему к нашей системе, из того, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$, следует, что прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны, то есть $a \parallel b$.

Однако этот вывод ($a \parallel b$) вступает в прямое противоречие с условием задачи, в котором чётко сказано, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. По определению, параллельные прямые не могут пересекаться.

Поскольку наше первоначальное предположение ($b \parallel c$) привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, прямые $b$ и $c$ не могут быть параллельными.

Альтернативное объяснение основывается на другой теореме: если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. В нашем случае прямая $b$ пересекает прямую $a$. Так как $a \parallel c$, то прямая $b$ обязана пересечь и прямую $c$. А если прямые $b$ и $c$ пересекаются, они не могут быть параллельными.

Ответ: Нет, прямые $b$ и $c$ не могут быть параллельными. Они обязательно пересекаются.

4. Прямая а параллельна плоскости α. Верно ли, что эта прямая:

а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α;

б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;

в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости α?

а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости $\alpha$;

Данное утверждение верно. Докажем это методом от противного. Предположим, что прямая $a$ пересекает некоторую прямую $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). Пусть точка их пересечения — $M$. Если прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$, то и все ее точки, включая точку $M$, принадлежат этой плоскости ($M \in \alpha$). В то же время, по нашему предположению, точка $M$ принадлежит и прямой $a$ ($M \in a$). Таким образом, получается, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют общую точку $M$, а это значит, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Это напрямую противоречит исходному условию, согласно которому прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Следовательно, наше начальное предположение было неверным. Прямая $a$ не может пересекать ни одну прямую, лежащую в плоскости $\alpha$. Прямая $a$ и любая прямая в плоскости $\alpha$ могут быть либо параллельными, либо скрещивающимися. В обоих случаях у них нет общих точек.

Ответ: Верно.

б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$;

Это утверждение неверно. Для опровержения достаточно привести один контрпример. В плоскости $\alpha$ можно провести бесконечное множество прямых с разными направлениями. Возьмем две произвольные пересекающиеся прямые, назовем их $b_1$ и $b_2$. Обе эти прямые лежат в плоскости $\alpha$. Если бы прямая $a$ была параллельна любой прямой в плоскости $\alpha$, она должна была бы быть параллельна и $b_1$, и $b_2$. То есть, $a \parallel b_1$ и $a \parallel b_2$. Согласно свойству транзитивности параллельности прямых в пространстве, если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Отсюда следовало бы, что $b_1 \parallel b_2$. Но мы изначально выбрали $b_1$ и $b_2$ как пересекающиеся прямые. Полученное противоречие доказывает, что исходное утверждение ложно. Прямая $a$ не может быть параллельна всем прямым в плоскости $\alpha$.

Ответ: Неверно.

в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$?

Данное утверждение верно. Это одна из ключевых теорем стереометрии, связанная с параллельностью прямой и плоскости. Доказательство: Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, она не лежит в этой плоскости. Проведем через прямую $a$ любую плоскость $\beta$, которая пересекает плоскость $\alpha$ (такая плоскость всегда существует, если только $\beta$ не совпадает с $\alpha$ или не параллельна ей). Линией пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является некоторая прямая. Обозначим ее $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$. Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $c$. 1. Обе прямые, $a$ и $c$, лежат в одной плоскости $\beta$ по построению. 2. Прямая $a$ не может пересекать прямую $c$. Если бы они пересекались в точке $K$, то эта точка $K$ принадлежала бы прямой $c$, а значит и плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha \implies K \in \alpha$). Но точка $K$ также лежит на прямой $a$. Это означало бы, что прямая $a$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$, что противоречит условию $a \parallel \alpha$. Поскольку две прямые ($a$ и $c$) лежат в одной плоскости ($\beta$) и не пересекаются, они по определению параллельны: $a \parallel c$. Мы нашли прямую $c$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $a$. Утверждение доказано.

Ответ: Верно.

5. Прямая а параллельна плоскости α. Сколько прямых, лежащих в плоскости α, параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости α?

Эта задача состоит из двух вопросов, которые мы рассмотрим поочередно.

Сколько прямых, лежащих в плоскости ?, параллельны прямой а?

По условию, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.
Для ответа на этот вопрос воспользуемся леммой о параллельных прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Обратное утверждение (следствие из признака параллельности прямой и плоскости) также верно: если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то в плоскости $\alpha$ существует прямая $b$, параллельная прямой $a$.
Докажем, что таких прямых бесконечно много.
1. Проведем через прямую $a$ какую-нибудь плоскость $\beta$, пересекающую плоскость $\alpha$. Линией пересечения этих плоскостей будет некоторая прямая $b$.
2. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\beta$.
3. Если бы прямые $a$ и $b$ пересекались, то точка их пересечения принадлежала бы и прямой $a$, и плоскости $\alpha$. Но это противоречит условию, что $a \parallel \alpha$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не пересекаются.
4. Две прямые в одной плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Значит, $a \parallel b$. Мы нашли одну такую прямую.
5. В плоскости $\alpha$ через любую точку, не принадлежащую прямой $b$, можно провести прямую $c$, параллельную $b$. Так как в плоскости бесконечно много таких точек, то существует и бесконечно много прямых, параллельных $b$.
6. По теореме о транзитивности параллельных прямых в пространстве: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Так как $c \parallel b$ и $b \parallel a$, то следует, что $c \parallel a$.
Таким образом, в плоскости $\alpha$ существует бесконечное множество прямых, параллельных прямой $a$.

Ответ: В плоскости $\alpha$ лежит бесконечно много прямых, параллельных прямой $a$.

Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости ??

Пусть $b$ и $c$ — это две любые различные прямые, которые лежат в плоскости $\alpha$ и параллельны прямой $a$.
Итак, у нас есть:
1. $b \subset \alpha$ и $c \subset \alpha$
2. $b \parallel a$
3. $c \parallel a$
Применим теорему о параллельности трех прямых: если две прямые ($b$ и $c$) параллельны третьей прямой ($a$), то они параллельны между собой.
Из того, что $b \parallel a$ и $c \parallel a$, напрямую следует, что $b \parallel c$.
Поскольку это рассуждение справедливо для любой пары прямых из плоскости $\alpha$, параллельных прямой $a$, то все такие прямые параллельны друг другу.

Ответ: Да, все прямые, лежащие в плоскости $\alpha$ и параллельные прямой $a$, параллельны друг другу.

6. Прямая а пересекает плоскость α. Лежит ли в плоскости α хоть одна прямая, параллельная a?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом доказательства от противного, опираясь на аксиомы и теоремы стереометрии.

По условию задачи нам дано, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. Это означает, что у прямой $a$ и плоскости $\alpha$ есть ровно одна общая точка.

Теперь предположим обратное тому, что нам нужно доказать. Допустим, что в плоскости $\alpha$ все-таки существует прямая, параллельная прямой $a$. Назовем эту прямую $b$.

Таким образом, наше предположение заключается в одновременном выполнении двух условий:
1. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).
2. Прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Теперь обратимся к признаку параллельности прямой и плоскости. Теорема гласит: «Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости».

Применим эту теорему к нашей ситуации. Прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ (поскольку она её пересекает). По нашему предположению, прямая $a$ параллельна прямой $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$. Из теоремы следует, что прямая $a$ должна быть параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

Однако это заключение ($a \parallel \alpha$) находится в прямом противоречии с исходным условием задачи, которое гласит, что прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$. По определению, прямая, пересекающая плоскость, не может быть ей параллельна.

Так как наше предположение привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, в плоскости $\alpha$ не может существовать прямая, параллельная прямой $a$.

Ответ: Нет, в плоскости $\alpha$, которую пересекает прямая $a$, не лежит ни одной прямой, параллельной $a$.

7. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Нет, данное утверждение неверно. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Рассмотрим это утверждение подробно.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (то есть $a \parallel b$) и плоскость $\alpha$.По условию, одна из прямых, например $a$, параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.

Рассмотрим возможные варианты расположения прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$. Прямая $b$ может:

1. Пересекать плоскость $\alpha$.
2. Быть параллельной плоскости $\alpha$.
3. Лежать в плоскости $\alpha$.

Докажем методом от противного, что первый вариант невозможен.

Предположим, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то через них можно провести единственную плоскость $\beta$. Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $b$, то она принадлежит и плоскости $\beta$. Также точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и их общая точка — $M$. Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Обозначим ее $c$. Прямая $c$ проходит через точку $M$ и лежит как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$.

Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В ней лежат две параллельные прямые $a$ и $b$, а также прямая $c$. Прямая $c$ пересекает прямую $b$ в точке $M$. Согласно теореме планиметрии, если прямая на плоскости пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Значит, прямая $c$ должна пересекать и прямую $a$ в некоторой точке $N$.

Поскольку прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка ее пересечения с прямой $a$, точка $N$, также должна лежать в плоскости $\alpha$. Но это означает, что прямая $a$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$, то есть пересекает ее. Это противоречит исходному условию, что $a \parallel \alpha$.

Наше предположение было неверным. Следовательно, прямая $b$ не может пересекать плоскость $\alpha$.

Таким образом, для прямой $b$ остаются только два варианта:

• Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$). В этом случае утверждение оказывается верным.
• Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). В этом случае прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$, так как имеет с ней бесконечное множество общих точек. Этот случай не противоречит условиям задачи. Можно представить себе плоскость $\alpha$ как поверхность стола. Прямая $b$ — это линия, проведенная на столе. Прямая $a$ — это прямая, параллельная $b$, но расположенная над столом. В такой ситуации $a \parallel b$ и $a \parallel \alpha$, однако прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Так как существует случай, когда вторая прямая не параллельна плоскости, а лежит в ней, то общее утверждение "вторая прямая параллельна этой плоскости" является неверным.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Вторая прямая может быть параллельна этой плоскости или может лежать в этой плоскости.

8. Верно ли утверждение: если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу?

Нет, данное утверждение неверно.

Две прямые, которые параллельны одной и той же плоскости, не обязательно будут параллельны друг другу. В пространстве такие прямые могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Для того чтобы доказать ложность утверждения, достаточно привести один контрпример, в котором условие (две прямые параллельны плоскости) выполняется, а заключение (прямые параллельны друг другу) — нет.

Приведём такой пример. Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость его нижнего основания $(ABC)$.

1. Рассмотрим прямую $a$, проходящую через ребро верхнего основания $A_1B_1$. Плоскость верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $\alpha$. По свойству параллельных плоскостей, любая прямая, лежащая в одной из них, параллельна другой плоскости. Следовательно, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

2. Теперь рассмотрим прямую $b$, проходящую через другое ребро верхнего основания — $B_1C_1$. Аналогично, так как прямая $b$ лежит в плоскости $(A_1B_1C_1)$, она также параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

Итак, мы имеем две прямые, $a$ ($A_1B_1$) и $b$ ($B_1C_1$), которые обе параллельны плоскости $\alpha$. Однако эти прямые не параллельны друг другу. Они являются смежными ребрами куба и имеют общую точку $B_1$, то есть являются пересекающимися прямыми.

Поскольку мы нашли две прямые, параллельные одной плоскости, но не параллельные между собой, исходное утверждение является ложным.

Ответ: Нет, утверждение неверно.

9. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?

а) пересекаться

Да, две прямые, параллельные одной и той же плоскости, могут пересекаться.

Рассмотрим две прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$, такие что $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$.
Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $M$. По аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.
Таким образом, мы имеем плоскость $\beta$, которая проходит через две пересекающиеся прямые ($a$ и $b$), каждая из которых параллельна плоскости $\alpha$. Согласно признаку параллельности двух плоскостей, в этом случае плоскость $\beta$ будет параллельна плоскости $\alpha$.
Такая геометрическая конфигурация возможна. Для построения примера достаточно выполнить следующие шаги:
1. Выбрать произвольную плоскость $\alpha$.
2. Провести плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$.
3. В плоскости $\beta$ провести две пересекающиеся прямые $a$ и $b$.
Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то и сами прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\alpha$. При этом по построению они пересекаются.

Ответ: да, могут.

б) быть скрещивающимися

Да, две прямые, параллельные одной и той же плоскости, могут быть скрещивающимися.

Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости (то есть не пересекаются и не параллельны).
Рассмотрим плоскость $\alpha$ и две прямые $a$ и $b$, для которых выполнено $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$.
Для доказательства возможности их скрещивания построим наглядный пример:
1. В качестве плоскости $\alpha$ возьмем плоскость пола в комнате.
2. В качестве прямой $a$ возьмем линию стыка потолка и одной из стен. Поскольку потолок параллелен полу, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.
3. В качестве прямой $b$ возьмем линию, лежащую на высоте стола и параллельную смежной (перпендикулярной) стене. Эта прямая также будет параллельна плоскости пола ($\alpha$).
Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, так как находятся на разной высоте (одна на уровне потолка, другая — на уровне стола). Они также не параллельны, так как их направления не совпадают (они соответствуют направлениям перпендикулярных стен). Следовательно, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.
Более формально: можно взять две различные параллельные плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$, которые также параллельны исходной плоскости $\alpha$. В плоскости $\beta_1$ провести прямую $a$. В плоскости $\beta_2$ провести прямую $b$ так, чтобы она не была параллельна прямой $a$. Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в разных параллельных плоскостях, они не могут пересечься. Так как они не параллельны по построению, они являются скрещивающимися. Обе прямые при этом параллельны плоскости $\alpha$.

Ответ: да, могут.

10. Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся основными определениями и теоремами стереометрии.

По определению, скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости. Важным свойством скрещивающихся прямых является то, что они не пересекаются и не параллельны.

В условии задачи дано, что прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися. Это означает, что прямая $a$ не параллельна прямой $b$, что можно записать как $a \not\parallel b$.

Теперь предположим, что существует некая прямая $c$, которой параллельны и прямая $a$, и прямая $b$. Математически это записывается так: $a \parallel c$ и $b \parallel c$.

В стереометрии существует теорема о параллельности трех прямых (признак параллельности прямых): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Применив эту теорему к нашему предположению, из $a \parallel c$ и $b \parallel c$ мы получаем, что $a \parallel b$.

Однако это заключение ($a \parallel b$) напрямую противоречит исходному условию, согласно которому прямые $a$ и $b$ скрещиваются и, следовательно, не могут быть параллельными ($a \not\parallel b$).

Поскольку наше предположение привело к противоречию, оно является неверным. Таким образом, скрещивающиеся прямые не могут быть одновременно параллельны одной и той же третьей прямой.

Ответ: Нет, не могут.

11. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость трапеции?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать взаимное расположение боковых сторон трапеции и применить признак параллельности двух плоскостей.

Пусть трапеция $ABCD$ лежит в плоскости $\beta$. По определению трапеции, у нее есть два основания ($AD$ и $BC$), которые параллельны друг другу, и две боковые стороны ($AB$ и $CD$), которые не параллельны.

По условию задачи, боковые стороны трапеции параллельны плоскости $\alpha$:
$AB \parallel \alpha$
$CD \parallel \alpha$

Поскольку боковые стороны $AB$ и $CD$ лежат в одной плоскости ($\beta$) и не параллельны друг другу, то прямые, содержащие эти стороны, являются пересекающимися.

Таким образом, мы имеем две пересекающиеся прямые ($AB$ и $CD$) в плоскости $\beta$, и каждая из этих прямых параллельна плоскости $\alpha$.

Теперь воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

В нашей задаче все условия этого признака выполнены:

1. Есть две прямые ($AB$ и $CD$), которые лежат в плоскости трапеции $\beta$.
2. Эти прямые пересекаются.
3. Каждая из этих прямых параллельна плоскости $\alpha$.

Следовательно, плоскость трапеции $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$.

Примечание: Если бы трапеция была параллелограммом (что иногда допускается определением), ее "боковые" стороны были бы параллельны. В этом случае условие, что две параллельные прямые в одной плоскости параллельны другой плоскости, не гарантирует параллельности самих плоскостей. Однако стандартная терминология, использующая понятие "боковые стороны трапеции", подразумевает именно непараллельные стороны, что делает вывод однозначным.

Ответ: Да, плоскость $\alpha$ и плоскость трапеции параллельны.

12. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость параллелограмма?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая, поскольку в условии не указано, какие именно две стороны параллелограмма параллельны плоскости α.

Случай 1: Две смежные стороны параллелограмма параллельны плоскости α

Пусть в параллелограмме ABCD стороны AB и AD (смежные, так как пересекаются в точке A) параллельны плоскости α. Обозначим плоскость, в которой лежит параллелограмм, как β.

Мы имеем две пересекающиеся прямые (AB и AD), лежащие в плоскости β, которые по условию параллельны плоскости α:

• $AB \parallel \alpha$
• $AD \parallel \alpha$
• $AB \cap AD = A$

Согласно признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следовательно, в этом случае плоскость параллелограмма β параллельна плоскости α ( $\beta \parallel \alpha$ ).

Случай 2: Две противолежащие стороны параллелограмма параллельны плоскости α

Пусть в параллелограмме ABCD стороны AB и CD (противолежащие) параллельны плоскости α. Обозначим плоскость параллелограмма как β.

По определению параллелограмма, его противолежащие стороны также параллельны друг другу: $AB \parallel CD$.

Таким образом, мы имеем две параллельные прямые (AB и CD) в плоскости β, которые параллельны плоскости α. Этого условия недостаточно для того, чтобы утверждать, что плоскость β параллельна плоскости α.

Приведем контрпример. Пусть плоскость β пересекает плоскость α по прямой l. В плоскости β можно расположить параллелограмм ABCD так, что его стороны AB и CD будут параллельны прямой l. Так как прямая l лежит в плоскости α ( $l \subset \alpha$ ), то прямые AB и CD будут параллельны плоскости α (по определению параллельности прямой и плоскости). Однако плоскость параллелограмма β в данном случае не параллельна плоскости α, а пересекает её.

Следовательно, в этом случае плоскость параллелограмма не обязательно параллельна плоскости α.

Поскольку существует случай (рассмотренный во втором пункте), когда условие задачи выполняется, а плоскости не параллельны, то на общий вопрос задачи следует дать отрицательный ответ.

Ответ: Нет, не обязательно. Плоскость параллелограмма и плоскость α будут параллельны, если две смежные стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Если же две противолежащие стороны параллелограмма параллельны плоскости α, то плоскость параллелограмма может как быть параллельной плоскости α, так и пересекать её.

13. Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключённых между параллельными плоскостями?

Да, могут.

Рассмотрим две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть расстояние между ними равно $h$.

Возьмем любой отрезок $AB$, концы которого лежат на этих плоскостях, то есть точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ лежит в плоскости $\beta$ ($B \in \beta$).

Чтобы найти длину этого отрезка, опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\beta$. Пусть $A'$ — основание этого перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра $AA'$ равна расстоянию между плоскостями, то есть $AA' = h$.

Мы получили прямоугольный треугольник $AA'B$ с прямым углом при вершине $A'$. В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза (наш исходный отрезок).
• $AA'$ — катет, равный $h$.
• $A'B$ — катет, который является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$. Обозначим длину этой проекции как $p$.

По теореме Пифагора, длина отрезка $AB$ вычисляется по формуле:

$L = \sqrt{(AA')^2 + (A'B)^2} = \sqrt{h^2 + p^2}$

Из этой формулы видно, что длина отрезка, заключенного между двумя параллельными плоскостями, зависит только от расстояния между плоскостями ($h$) и длины его проекции ($p$).

Теперь рассмотрим два отрезка, $AB$ и $CD$, заключенных между теми же плоскостями. Пусть их длины равны $L_1$ и $L_2$, а длины их проекций на плоскость $\beta$ равны $p_1$ и $p_2$ соответственно. Тогда:

$L_1 = \sqrt{h^2 + p_1^2}$

$L_2 = \sqrt{h^2 + p_2^2}$

Для того чтобы отрезки $AB$ и $CD$ были равны ($L_1 = L_2$), необходимо и достаточно, чтобы были равны длины их проекций ($p_1 = p_2$).

Вопрос сводится к следующему: можем ли мы взять два непараллельных отрезка $AB$ и $CD$ так, чтобы их проекции были равны по длине? Да, можем.

Пример:

В плоскости $\beta$ возьмем две пересекающиеся прямые. На одной прямой от точки пересечения $O'$ отложим отрезок $O'A$ длиной $p$. На другой прямой от той же точки $O'$ отложим отрезок $O'B$ такой же длины $p$. Отрезки $O'A$ и $O'B$ равны по длине, но не параллельны.

Теперь в плоскости $\alpha$ возьмем точку $O$ так, чтобы ее проекцией на плоскость $\beta$ была точка $O'$. Соединим точку $O$ с точками $A$ и $B$. Мы получим два отрезка $OA$ и $OB$.

• Длина отрезка $OA$ равна $\sqrt{h^2 + (O'A)^2} = \sqrt{h^2 + p^2}$.
• Длина отрезка $OB$ равна $\sqrt{h^2 + (O'B)^2} = \sqrt{h^2 + p^2}$.

Таким образом, длины отрезков $OA$ и $OB$ равны. При этом сами отрезки $OA$ и $OB$ не параллельны, так как они имеют общую точку $O$, но не лежат на одной прямой (поскольку их проекции $O'A$ и $O'B$ не лежат на одной прямой).

Ответ: Да, могут.

14. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?

Для ответа на этот вопрос проанализируем свойства тетраэдра и его граней.

Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. Всего у тетраэдра 4 грани.

Каждая грань тетраэдра является треугольником. В евклидовой геометрии, в которой рассматриваются стандартные многогранники, сумма углов любого треугольника строго равна $180^\circ$.

Прямой угол равен $90^\circ$. Если предположить, что в одном треугольнике есть два прямых угла, то их сумма составит $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что на третий угол остается $180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$, что невозможно для невырожденного треугольника (вершины такого "треугольника" будут лежать на одной прямой). Следовательно, каждая треугольная грань тетраэдра может иметь не более одного прямого угла.

У тетраэдра всего 4 грани. Поскольку каждая грань может содержать максимум один прямой угол, то общее число прямых углов у всех граней тетраэдра не может превышать 4.

В задаче спрашивается о существовании тетраэдра с пятью прямыми углами в гранях. Так как $5 > 4$, это невозможно.

Можно также применить принцип Дирихле. Если бы у тетраэдра было 5 прямых углов (предметы), распределенных по 4 граням (ящики), то по крайней мере одна грань должна была бы содержать как минимум два прямых угла. Как мы уже показали, это невозможно для треугольной грани.

Таким образом, тетраэдр, у которого пять углов граней являются прямыми, не может существовать.

Ответ: Нет, не существует.

15. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?

а) только одна грань — прямоугольник
По определению, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом. Ключевое свойство параллелепипеда заключается в том, что его противолежащие грани попарно равны (конгруэнтны) и параллельны. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Если мы предположим, что одна из граней параллелепипеда — прямоугольник, то из свойства конгруэнтности противолежащих граней следует, что грань, лежащая напротив нее, также должна быть прямоугольником. Таким образом, в параллелепипеде не может быть ровно одна грань-прямоугольник. Если такая грань есть, то их как минимум две.
Ответ: не существует.

б) только две смежные грани — ромбы
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть две смежные грани параллелепипеда являются ромбами. Эти грани имеют общее ребро. Обозначим длину этого ребра как $a$. Поскольку первая смежная грань — ромб, все ее стороны равны $a$. Поскольку вторая смежная грань — также ромб, и она имеет общее ребро длиной $a$, то все ее стороны также должны быть равны $a$. Рассмотрим вершину, в которой сходятся эти две грани. Из нее выходят три ребра. Два ребра принадлежат одной грани-ромбу, а другие два — другой. Из нашего рассуждения следует, что все три ребра, выходящие из этой вершины, имеют одинаковую длину $a$. В параллелепипеде все параллельные ребра равны. Так как все ребра параллелепипеда параллельны одному из трех ребер, выходящих из одной вершины, то все 12 ребер параллелепипеда будут иметь одинаковую длину $a$. Такой параллелепипед называется ромбоэдром, и все его шесть граней являются конгруэнтными ромбами. Следовательно, не может существовать параллелепипед, у которого ромбами являются *только* две смежные грани. Если две смежные грани — ромбы, то и все остальные четыре грани тоже будут ромбами.
Ответ: не существует.

в) все углы граней острые
Каждая грань параллелепипеда — это параллелограмм. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — два соседних угла в параллелограмме, тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Острый угол — это угол, меньший $90^\circ$. Если предположить, что один из углов, например $\alpha$, острый (то есть $\alpha < 90^\circ$), то для соседнего с ним угла $\beta$ будет выполняться равенство $\beta = 180^\circ - \alpha$. Так как $\alpha < 90^\circ$, то $\beta > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что угол $\beta$ является тупым. Таким образом, в любом параллелограмме (если он не является прямоугольником) обязательно есть как острые, так и тупые углы. Невозможно, чтобы все углы одной грани были острыми.
Ответ: не существует.

г) все углы граней прямые
Если все углы грани прямые ($90^\circ$), то эта грань является прямоугольником. Если у параллелепипеда все углы всех граней прямые, это означает, что все его шесть граней — прямоугольники. Такой параллелепипед существует и называется прямоугольным параллелепипедом (или кубоидом). Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб, у которого все ребра равны.
Ответ: да, существует (это прямоугольный параллелепипед).

д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней
Рассмотрим углы на гранях параллелепипеда. Всего у параллелепипеда 6 граней, и на каждой грани по 4 угла, что в сумме составляет $6 \times 4 = 24$ угла. Проанализируем углы для одной грани (параллелограмма):

1. Если грань является прямоугольником, то все ее 4 угла — прямые. Прямой угол не является ни острым, ни тупым. Такая грань не добавляет в общую сумму ни острых, ни тупых углов.
2. Если грань не является прямоугольником, то она имеет 2 равных острых угла и 2 равных тупых угла. Такая грань добавляет в общую сумму 2 острых и 2 тупых угла.

В любом параллелепипеде каждая грань, не являющаяся прямоугольником, вносит одинаковое количество острых и тупых углов (по два). Грани-прямоугольники не вносят ни тех, ни других. Пусть $k$ — количество граней, не являющихся прямоугольниками. Тогда общее число острых углов во всем параллелепипеде равно $2k$, и общее число тупых углов также равно $2k$. Следовательно, число всех острых углов граней всегда равно числу всех тупых углов граней.
Ответ: не существует.

16. Какие многоугольники могут получиться в сечении: а) тетраэдра; б) параллелепипеда?

а) тетраэдра
Сечение многогранника плоскостью представляет собой многоугольник. Количество сторон этого многоугольника равно числу граней многогранника, которые пересекает секущая плоскость. Тетраэдр имеет 4 грани (все грани — треугольники), следовательно, в его сечении может получиться многоугольник, имеющий не более 4 сторон.

Рассмотрим возможные варианты:
Треугольник. Сечение будет треугольником, если секущая плоскость пересекает три грани тетраэдра. Это происходит, например, когда плоскость пересекает три ребра, выходящие из одной вершины, то есть «отсекает» вершину.
Четырехугольник. Сечение будет четырехугольником, если секущая плоскость пересекает все четыре грани тетраэдра. Такое сечение можно получить, если провести плоскость через четыре точки, лежащие на четырех разных ребрах, например, на ребрах AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD.

Получить многоугольник с числом сторон больше четырех (пятиугольник, шестиугольник и т.д.) невозможно, так как для этого плоскость должна была бы пересечь более четырех граней, а у тетраэдра их всего четыре.

Ответ: треугольники и четырехугольники.

б) параллелепипеда
Параллелепипед — это многогранник, который имеет 6 граней (все грани — параллелограммы). Следовательно, в его сечении может получиться многоугольник, имеющий не более 6 сторон.

Рассмотрим возможные варианты:
Треугольник. Такое сечение получается, если секущая плоскость пересекает три ребра, выходящие из одной вершины, то есть «отсекает» одну из вершин параллелепипеда.
Четырехугольник. Это очень распространенный вид сечения. Например, любое сечение, параллельное одной из граней, будет четырехугольником (а точнее, параллелограммом).
Пятиугольник. Такое сечение получается, если секущая плоскость пересекает пять из шести граней параллелепипеда.
Шестиугольник. Такое сечение получается, если секущая плоскость пересекает все шесть граней параллелепипеда. Классический пример для куба (частный случай параллелепипеда) — сечение, проходящее через середины шести ребер, не имеющих общих вершин. Такое сечение является правильным шестиугольником.

Получить многоугольник с числом сторон более шести (семиугольник и т.д.) невозможно, так как у параллелепипеда всего 6 граней.

Ответ: треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.