Номер 15, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 1. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 15, страница 33.

15. Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?

а) только одна грань — прямоугольник
По определению, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом. Ключевое свойство параллелепипеда заключается в том, что его противолежащие грани попарно равны (конгруэнтны) и параллельны. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Если мы предположим, что одна из граней параллелепипеда — прямоугольник, то из свойства конгруэнтности противолежащих граней следует, что грань, лежащая напротив нее, также должна быть прямоугольником. Таким образом, в параллелепипеде не может быть ровно одна грань-прямоугольник. Если такая грань есть, то их как минимум две.
Ответ: не существует.

б) только две смежные грани — ромбы
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть две смежные грани параллелепипеда являются ромбами. Эти грани имеют общее ребро. Обозначим длину этого ребра как $a$. Поскольку первая смежная грань — ромб, все ее стороны равны $a$. Поскольку вторая смежная грань — также ромб, и она имеет общее ребро длиной $a$, то все ее стороны также должны быть равны $a$. Рассмотрим вершину, в которой сходятся эти две грани. Из нее выходят три ребра. Два ребра принадлежат одной грани-ромбу, а другие два — другой. Из нашего рассуждения следует, что все три ребра, выходящие из этой вершины, имеют одинаковую длину $a$. В параллелепипеде все параллельные ребра равны. Так как все ребра параллелепипеда параллельны одному из трех ребер, выходящих из одной вершины, то все 12 ребер параллелепипеда будут иметь одинаковую длину $a$. Такой параллелепипед называется ромбоэдром, и все его шесть граней являются конгруэнтными ромбами. Следовательно, не может существовать параллелепипед, у которого ромбами являются *только* две смежные грани. Если две смежные грани — ромбы, то и все остальные четыре грани тоже будут ромбами.
Ответ: не существует.

в) все углы граней острые
Каждая грань параллелепипеда — это параллелограмм. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, всегда равна $180^\circ$. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — два соседних угла в параллелограмме, тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$. Острый угол — это угол, меньший $90^\circ$. Если предположить, что один из углов, например $\alpha$, острый (то есть $\alpha < 90^\circ$), то для соседнего с ним угла $\beta$ будет выполняться равенство $\beta = 180^\circ - \alpha$. Так как $\alpha < 90^\circ$, то $\beta > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это означает, что угол $\beta$ является тупым. Таким образом, в любом параллелограмме (если он не является прямоугольником) обязательно есть как острые, так и тупые углы. Невозможно, чтобы все углы одной грани были острыми.
Ответ: не существует.

г) все углы граней прямые
Если все углы грани прямые ($90^\circ$), то эта грань является прямоугольником. Если у параллелепипеда все углы всех граней прямые, это означает, что все его шесть граней — прямоугольники. Такой параллелепипед существует и называется прямоугольным параллелепипедом (или кубоидом). Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб, у которого все ребра равны.
Ответ: да, существует (это прямоугольный параллелепипед).

д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней
Рассмотрим углы на гранях параллелепипеда. Всего у параллелепипеда 6 граней, и на каждой грани по 4 угла, что в сумме составляет $6 \times 4 = 24$ угла. Проанализируем углы для одной грани (параллелограмма):

1. Если грань является прямоугольником, то все ее 4 угла — прямые. Прямой угол не является ни острым, ни тупым. Такая грань не добавляет в общую сумму ни острых, ни тупых углов.
2. Если грань не является прямоугольником, то она имеет 2 равных острых угла и 2 равных тупых угла. Такая грань добавляет в общую сумму 2 острых и 2 тупых угла.

В любом параллелепипеде каждая грань, не являющаяся прямоугольником, вносит одинаковое количество острых и тупых углов (по два). Грани-прямоугольники не вносят ни тех, ни других. Пусть $k$ — количество граней, не являющихся прямоугольниками. Тогда общее число острых углов во всем параллелепипеде равно $2k$, и общее число тупых углов также равно $2k$. Следовательно, число всех острых углов граней всегда равно числу всех тупых углов граней.
Ответ: не существует.