Номер 12, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

12. Две стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Параллельны ли плоскость α и плоскость параллелограмма?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть два возможных случая, поскольку в условии не указано, какие именно две стороны параллелограмма параллельны плоскости α.

Случай 1: Две смежные стороны параллелограмма параллельны плоскости α

Пусть в параллелограмме ABCD стороны AB и AD (смежные, так как пересекаются в точке A) параллельны плоскости α. Обозначим плоскость, в которой лежит параллелограмм, как β.

Мы имеем две пересекающиеся прямые (AB и AD), лежащие в плоскости β, которые по условию параллельны плоскости α:

• $AB \parallel \alpha$
• $AD \parallel \alpha$
• $AB \cap AD = A$

Согласно признаку параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следовательно, в этом случае плоскость параллелограмма β параллельна плоскости α ( $\beta \parallel \alpha$ ).

Случай 2: Две противолежащие стороны параллелограмма параллельны плоскости α

Пусть в параллелограмме ABCD стороны AB и CD (противолежащие) параллельны плоскости α. Обозначим плоскость параллелограмма как β.

По определению параллелограмма, его противолежащие стороны также параллельны друг другу: $AB \parallel CD$.

Таким образом, мы имеем две параллельные прямые (AB и CD) в плоскости β, которые параллельны плоскости α. Этого условия недостаточно для того, чтобы утверждать, что плоскость β параллельна плоскости α.

Приведем контрпример. Пусть плоскость β пересекает плоскость α по прямой l. В плоскости β можно расположить параллелограмм ABCD так, что его стороны AB и CD будут параллельны прямой l. Так как прямая l лежит в плоскости α ( $l \subset \alpha$ ), то прямые AB и CD будут параллельны плоскости α (по определению параллельности прямой и плоскости). Однако плоскость параллелограмма β в данном случае не параллельна плоскости α, а пересекает её.

Следовательно, в этом случае плоскость параллелограмма не обязательно параллельна плоскости α.

Поскольку существует случай (рассмотренный во втором пункте), когда условие задачи выполняется, а плоскости не параллельны, то на общий вопрос задачи следует дать отрицательный ответ.

Ответ: Нет, не обязательно. Плоскость параллелограмма и плоскость α будут параллельны, если две смежные стороны параллелограмма параллельны плоскости α. Если же две противолежащие стороны параллелограмма параллельны плоскости α, то плоскость параллелограмма может как быть параллельной плоскости α, так и пересекать её.