Номер 13, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

13. Могут ли быть равны два непараллельных отрезка, заключённых между параллельными плоскостями?

Да, могут.

Рассмотрим две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Пусть расстояние между ними равно $h$.

Возьмем любой отрезок $AB$, концы которого лежат на этих плоскостях, то есть точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$ ($A \in \alpha$), а точка $B$ лежит в плоскости $\beta$ ($B \in \beta$).

Чтобы найти длину этого отрезка, опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\beta$. Пусть $A'$ — основание этого перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра $AA'$ равна расстоянию между плоскостями, то есть $AA' = h$.

Мы получили прямоугольный треугольник $AA'B$ с прямым углом при вершине $A'$. В этом треугольнике:

• $AB$ — гипотенуза (наш исходный отрезок).
• $AA'$ — катет, равный $h$.
• $A'B$ — катет, который является проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$. Обозначим длину этой проекции как $p$.

По теореме Пифагора, длина отрезка $AB$ вычисляется по формуле:

$L = \sqrt{(AA')^2 + (A'B)^2} = \sqrt{h^2 + p^2}$

Из этой формулы видно, что длина отрезка, заключенного между двумя параллельными плоскостями, зависит только от расстояния между плоскостями ($h$) и длины его проекции ($p$).

Теперь рассмотрим два отрезка, $AB$ и $CD$, заключенных между теми же плоскостями. Пусть их длины равны $L_1$ и $L_2$, а длины их проекций на плоскость $\beta$ равны $p_1$ и $p_2$ соответственно. Тогда:

$L_1 = \sqrt{h^2 + p_1^2}$

$L_2 = \sqrt{h^2 + p_2^2}$

Для того чтобы отрезки $AB$ и $CD$ были равны ($L_1 = L_2$), необходимо и достаточно, чтобы были равны длины их проекций ($p_1 = p_2$).

Вопрос сводится к следующему: можем ли мы взять два непараллельных отрезка $AB$ и $CD$ так, чтобы их проекции были равны по длине? Да, можем.

Пример:

В плоскости $\beta$ возьмем две пересекающиеся прямые. На одной прямой от точки пересечения $O'$ отложим отрезок $O'A$ длиной $p$. На другой прямой от той же точки $O'$ отложим отрезок $O'B$ такой же длины $p$. Отрезки $O'A$ и $O'B$ равны по длине, но не параллельны.

Теперь в плоскости $\alpha$ возьмем точку $O$ так, чтобы ее проекцией на плоскость $\beta$ была точка $O'$. Соединим точку $O$ с точками $A$ и $B$. Мы получим два отрезка $OA$ и $OB$.

• Длина отрезка $OA$ равна $\sqrt{h^2 + (O'A)^2} = \sqrt{h^2 + p^2}$.
• Длина отрезка $OB$ равна $\sqrt{h^2 + (O'B)^2} = \sqrt{h^2 + p^2}$.

Таким образом, длины отрезков $OA$ и $OB$ равны. При этом сами отрезки $OA$ и $OB$ не параллельны, так как они имеют общую точку $O$, но не лежат на одной прямой (поскольку их проекции $O'A$ и $O'B$ не лежат на одной прямой).

Ответ: Да, могут.