Номер 14, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 1. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 14, страница 33.

14. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?

Для ответа на этот вопрос проанализируем свойства тетраэдра и его граней.

Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. Всего у тетраэдра 4 грани.

Каждая грань тетраэдра является треугольником. В евклидовой геометрии, в которой рассматриваются стандартные многогранники, сумма углов любого треугольника строго равна $180^\circ$.

Прямой угол равен $90^\circ$. Если предположить, что в одном треугольнике есть два прямых угла, то их сумма составит $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что на третий угол остается $180^\circ - 180^\circ = 0^\circ$, что невозможно для невырожденного треугольника (вершины такого "треугольника" будут лежать на одной прямой). Следовательно, каждая треугольная грань тетраэдра может иметь не более одного прямого угла.

У тетраэдра всего 4 грани. Поскольку каждая грань может содержать максимум один прямой угол, то общее число прямых углов у всех граней тетраэдра не может превышать 4.

В задаче спрашивается о существовании тетраэдра с пятью прямыми углами в гранях. Так как $5 > 4$, это невозможно.

Можно также применить принцип Дирихле. Если бы у тетраэдра было 5 прямых углов (предметы), распределенных по 4 граням (ящики), то по крайней мере одна грань должна была бы содержать как минимум два прямых угла. Как мы уже показали, это невозможно для треугольной грани.

Таким образом, тетраэдр, у которого пять углов граней являются прямыми, не может существовать.

Ответ: Нет, не существует.