Номер 7, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

7. Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Нет, данное утверждение неверно. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Рассмотрим это утверждение подробно.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (то есть $a \parallel b$) и плоскость $\alpha$.По условию, одна из прямых, например $a$, параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.

Рассмотрим возможные варианты расположения прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$. Прямая $b$ может:

1. Пересекать плоскость $\alpha$.
2. Быть параллельной плоскости $\alpha$.
3. Лежать в плоскости $\alpha$.

Докажем методом от противного, что первый вариант невозможен.

Предположим, что прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в некоторой точке $M$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, то через них можно провести единственную плоскость $\beta$. Поскольку точка $M$ принадлежит прямой $b$, то она принадлежит и плоскости $\beta$. Также точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и их общая точка — $M$. Линией пересечения двух плоскостей является прямая. Обозначим ее $c$. Прямая $c$ проходит через точку $M$ и лежит как в плоскости $\alpha$, так и в плоскости $\beta$.

Теперь рассмотрим плоскость $\beta$. В ней лежат две параллельные прямые $a$ и $b$, а также прямая $c$. Прямая $c$ пересекает прямую $b$ в точке $M$. Согласно теореме планиметрии, если прямая на плоскости пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Значит, прямая $c$ должна пересекать и прямую $a$ в некоторой точке $N$.

Поскольку прямая $c$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, то и точка ее пересечения с прямой $a$, точка $N$, также должна лежать в плоскости $\alpha$. Но это означает, что прямая $a$ имеет общую точку с плоскостью $\alpha$, то есть пересекает ее. Это противоречит исходному условию, что $a \parallel \alpha$.

Наше предположение было неверным. Следовательно, прямая $b$ не может пересекать плоскость $\alpha$.

Таким образом, для прямой $b$ остаются только два варианта:

• Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$). В этом случае утверждение оказывается верным.
• Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$). В этом случае прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$, так как имеет с ней бесконечное множество общих точек. Этот случай не противоречит условиям задачи. Можно представить себе плоскость $\alpha$ как поверхность стола. Прямая $b$ — это линия, проведенная на столе. Прямая $a$ — это прямая, параллельная $b$, но расположенная над столом. В такой ситуации $a \parallel b$ и $a \parallel \alpha$, однако прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.

Так как существует случай, когда вторая прямая не параллельна плоскости, а лежит в ней, то общее утверждение "вторая прямая параллельна этой плоскости" является неверным.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Вторая прямая может быть параллельна этой плоскости или может лежать в этой плоскости.