Номер 87, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 87, страница 33.

87. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и K лежат соответственно на рёбрах: а) ВВ₁, АА₁, AD; б) CC₁, AD, ВВ₁.

а)

Построим сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $MNK$, где точки $M, N, K$ лежат соответственно на рёбрах $BB_1$, $AA_1$, $AD$.

Порядок построения:

1. Точки $N$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ADD_1A_1$. Соединяем их отрезком $NK$. Это одна из сторон сечения.
2. Точки $N$ и $M$ лежат в одной плоскости грани $ABB_1A_1$. Соединяем их отрезком $NM$. Это вторая сторона сечения.
3. Плоскости граней $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Секущая плоскость $(MNK)$ пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения плоскости $(MNK)$ с гранью $BCC_1B_1$ будет параллельна прямой $NK$. Проведём через точку $M$, лежащую в плоскости $BCC_1B_1$, прямую, параллельную $NK$. Эта прямая пересечёт ребро $BC$ в некоторой точке $L$. Отрезок $ML$ — третья сторона сечения.
4. Точки $K$ и $L$ лежат в одной плоскости основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $KL$. Это четвёртая, замыкающая сторона сечения.

Все точки $K, N, M, L$ соединены, образуя замкнутый многоугольник $KNML$.

Ответ: Сечением является четырёхугольник $KNML$, построенный согласно описанным шагам.

б)

Построим сечение параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $MNK$, где точки $M, N, K$ лежат соответственно на рёбрах $CC_1$, $AD$, $BB_1$. В этом случае никакие две из заданных точек не лежат в одной грани, поэтому будем использовать метод построения сечений, основанный на параллельности прямых пересечения секущей плоскости с параллельными гранями.

Порядок построения:

1. Точки $M$ и $K$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их отрезком $MK$. Это первая сторона искомого сечения.
2. Плоскости граней $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ параллельны ($ (BCC_1B_1) \parallel (ADD_1A_1) $). Секущая плоскость $(MNK)$ пересекает эти грани по параллельным прямым. Через точку $N$, лежащую в плоскости $ADD_1A_1$, проведём прямую, параллельную $MK$. Пусть эта прямая пересекает ребро $DD_1$ в точке $L$. Отрезок $NL$ — вторая сторона сечения.
3. Точки $L$ и $M$ лежат в плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединяем их отрезком $LM$. Это третья сторона сечения.
4. Плоскости граней $DCC_1D_1$ и $ABB_1A_1$ параллельны ($ (DCC_1D_1) \parallel (ABB_1A_1) $). Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через точку $K$, лежащую в плоскости $ABB_1A_1$, проведём прямую, параллельную $LM$. Пусть эта прямая пересекает ребро $AB$ в точке $P$. Отрезок $KP$ — четвёртая сторона сечения.
5. Точки $P$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $PN$. Это пятая, замыкающая сторона сечения.

Таким образом, все вершины сечения $N, L, M, K, P$ найдены и соединены в замкнутый многоугольник.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $NLMKP$, построенный согласно описанным шагам.