Номер 83, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 83, страница 32.

83. Изобразите параллелепипед ABCDA₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро СС₁ и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости AB₁C₁.

а)

Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AD_1$ и $A_1D$ грани $AA_1D_1D$. Cекущая плоскость $\alpha$ проходит через ребро $CC_1$ и точку $O$.

1. Так как секущая плоскость $\alpha$ проходит через ребро $CC_1$, то вся прямая $CC_1$ принадлежит этой плоскости. Таким образом, отрезок $CC_1$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Точка $O$ принадлежит плоскости $\alpha$ по условию. Также точка $O$ лежит в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$.

3. Плоскости боковых граней $AA_1D_1D$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $BCC_1B_1$ по прямой $CC_1$. По свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $AA_1D_1D$ должна быть параллельна прямой $CC_1$.

4. Проведем в плоскости $AA_1D_1D$ через точку $O$ прямую, параллельную $CC_1$ (а значит, и $DD_1$). Пусть эта прямая пересекает ребра $AD$ и $A_1D_1$ в точках $N$ и $M$ соответственно. Отрезок $MN$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1D_1D$.

5. Соединим последовательно точки. Точки $C_1$ и $M$ лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, поэтому отрезок $C_1M$ — линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью. Точки $C$ и $N$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$, поэтому отрезок $CN$ — линия пересечения секущей плоскости с нижней гранью.

6. Полученный четырехугольник $CC_1MN$ является искомым сечением. Так как мы строили $MN \parallel CC_1$, то $CC_1MN$ — трапеция. Поскольку $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $AA_1D_1D$, то $O$ является их серединой. Прямая $MN$, проходящая через середину $O$ диагонали $A_1D$ параллельно стороне $DD_1$, по теореме Фалеса делит стороны $AD$ и $A_1D_1$ пополам. Следовательно, $N$ — середина $AD$, а $M$ — середина $A_1D_1$. Тогда $MN$ является отрезком, соединяющим середины боковых сторон параллелограмма, и $MN = DD_1 = CC_1$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $CC_1MN$, где $M$ — середина ребра $A_1D_1$, а $N$ — середина ребра $AD$.

б)

Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $P$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ грани $ABCD$. Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $P$ параллельно плоскости $AB_1C_1$.

Построение сечения основано на свойстве: если плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$, то линия пересечения $\beta$ с любой третьей плоскостью $\delta$ параллельна линии пересечения $\gamma$ с $\delta$.

1. Найдем линию пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью основания $ABCD$. Эта линия должна проходить через точку $P$. Так как $B_1C_1 \parallel AD$, то прямая $AD$ параллельна плоскости $AB_1C_1$. Следовательно, плоскость $\beta$, параллельная плоскости $AB_1C_1$, также будет параллельна прямой $AD$. Линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $ABCD$ — это прямая, проходящая через точку $P$ параллельно $AD$. Эта прямая пересекает ребра $AB$ и $CD$ в их серединах. Обозначим эти точки $R$ и $Q$ соответственно. Отрезок $RQ$ — сторона искомого сечения.

2. Найдем линию пересечения плоскости $\beta$ с гранью $ABB_1A_1$. Эта линия проходит через точку $R$. Плоскость $AB_1C_1$ пересекает грань $ABB_1A_1$ по прямой $AB_1$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\beta$ с гранью $ABB_1A_1$ должна быть параллельна $AB_1$. Проведем через точку $R$ (середину $AB$) прямую, параллельную $AB_1$. По теореме Фалеса, эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в его середине. Обозначим эту точку $S$. Отрезок $RS$ — вторая сторона сечения.

3. Найдем линию пересечения плоскости $\beta$ с гранью $BCC_1B_1$. Она проходит через точку $S$. Плоскость $AB_1C_1$ пересекает эту грань по прямой $B_1C_1$. Следовательно, искомая линия пересечения должна быть параллельна $B_1C_1$. Проведем через точку $S$ (середину $BB_1$) прямую, параллельную $B_1C_1$. Она пересечет ребро $CC_1$ в его середине. Обозначим эту точку $T$. Отрезок $ST$ — третья сторона сечения.

4. Точки $T$ (середина $CC_1$) и $Q$ (середина $CD$) лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$. Отрезок $TQ$ является четвертой стороной сечения. Проверим правильность построения: в $\triangle CC_1D$ отрезок $TQ$ является средней линией, поэтому $TQ \parallel C_1D$. Диагонали противоположных граней $CDD_1C_1$ и $BAA_1B_1$ параллельны, то есть $C_1D \parallel B_1A$. Прямая $B_1A$ лежит в плоскости $AB_1C_1$. Таким образом, $TQ \parallel B_1A$, а значит $TQ \parallel (AB_1C_1)$, что подтверждает правильность построения.

5. Соединяя точки $Q$ и $R$, мы замыкаем сечение. Полученный четырехугольник $RSTQ$ — искомое сечение. Так как $RQ \parallel AD$ и $ST \parallel BC$, а $AD \parallel BC$, то $RQ \parallel ST$. Более того, $RQ = AD$ и $ST = BC$. Так как $AD=BC$, то $RQ = ST$. Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $RSTQ$, вершины которого являются серединами ребер $AB, BB_1, CC_1$ и $CD$.