Страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

76. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что AC || A₁C₁ и BD || B₁D₁.

По определению, параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это многогранник, у которого все шесть граней являются параллелограммами. Это означает, что противолежащие стороны каждой грани параллельны и равны.

Доказательство $AC \parallel A_1C_1$

Рассмотрим четырехугольник $ACC_1A_1$, образованный диагоналями оснований $AC$, $A_1C_1$ и боковыми ребрами $AA_1$, $CC_1$. Чтобы доказать параллельность прямых $AC$ и $A_1C_1$, мы докажем, что четырехугольник $ACC_1A_1$ является параллелограммом.

Поскольку грань $AA_1B_1B$ является параллелограммом, ее противолежащие стороны $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны: $AA_1 \parallel BB_1$ и $AA_1 = BB_1$.

Аналогично, поскольку грань $BB_1C_1C$ является параллелограммом, ее противолежащие стороны $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны: $BB_1 \parallel CC_1$ и $BB_1 = CC_1$.

Из этих соотношений по свойству транзитивности следует, что $AA_1 \parallel CC_1$ (так как обе прямые параллельны $BB_1$) и $AA_1 = CC_1$ (так как длины обоих отрезков равны длине $BB_1$).

Таким образом, в четырехугольнике $ACC_1A_1$ две противолежащие стороны ($AA_1$ и $CC_1$) параллельны и равны. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ACC_1A_1$ — параллелограмм.

Так как $ACC_1A_1$ — параллелограмм, то его другие противолежащие стороны, $AC$ и $A_1C_1$, также параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Доказательство $BD \parallel B_1D_1$

Рассмотрим четырехугольник $BDD_1B_1$, образованный диагоналями оснований $BD$, $B_1D_1$ и боковыми ребрами $BB_1$, $DD_1$. Доказательство проводится аналогично предыдущему пункту.

Так как грань $AA_1B_1B$ — параллелограмм, то $BB_1 \parallel AA_1$ и $BB_1 = AA_1$.

Так как грань $AA_1D_1D$ — параллелограмм, то $DD_1 \parallel AA_1$ и $DD_1 = AA_1$.

Следовательно, по свойству транзитивности, $BB_1 \parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$.

В четырехугольнике $BDD_1B_1$ две противолежащие стороны ($BB_1$ и $DD_1$) параллельны и равны, значит, по признаку параллелограмма, $BDD_1B_1$ является параллелограммом.

Поскольку $BDD_1B_1$ — параллелограмм, его противолежащие стороны $BD$ и $B_1D_1$ параллельны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

77. Сумма всех рёбер параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если ABBC = 45, BCBB₁ = 56.

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет 12 ребер, которые можно разделить на три группы по четыре равных и параллельных ребра. Обозначим длины этих ребер, выходящих из одной вершины (например, B), как $AB$, $BC$ и $BB_1$.

Сумма длин всех ребер параллелепипеда вычисляется по формуле: $L = 4 \cdot (AB + BC + BB_1)$. По условию задачи, $L = 120$ см. Следовательно, мы можем составить уравнение: $4 \cdot (AB + BC + BB_1) = 120$ Разделив обе части на 4, получим сумму длин трех измерений параллелепипеда: $AB + BC + BB_1 = \frac{120}{4} = 30$ см.

Найдем соотношение между ребрами. Нам даны два отношения: $\frac{AB}{BC} = \frac{4}{5}$ и $\frac{BC}{BB_1} = \frac{5}{6}$. Заметим, что в обоих отношениях присутствует ребро $BC$ и его относительное значение равно 5. Это позволяет нам установить общее соотношение длин всех трех ребер: $AB : BC : BB_1 = 4 : 5 : 6$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда длины ребер можно выразить через $k$: $AB = 4k$ $BC = 5k$ $BB_1 = 6k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы ребер: $AB + BC + BB_1 = 30$ $4k + 5k + 6k = 30$ $15k = 30$ $k = \frac{30}{15} = 2$.

Теперь, зная значение $k$, мы можем найти длины каждого ребра. Длина ребра $AB$ и равных ему ребер ($CD, A_1B_1, C_1D_1$): $AB = 4k = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Длина ребра $BC$ и равных ему ребер ($AD, B_1C_1, A_1D_1$): $BC = 5k = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Длина ребра $BB_1$ и равных ему ребер ($AA_1, CC_1, DD_1$): $BB_1 = 6k = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: длины ребер параллелепипеда равны 8 см, 10 см и 12 см.

78. На рисунке 42 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, на рёбрах которого отмечены точки М, N, М₁ и N₁ так, что AM = CN = A₁M₁ = C₁N₁. Докажите, что MBNDM₁B₁N₁D₁ — параллелепипед.

Для доказательства того, что многогранник $MBNDM_1B_1N_1D_1$ является параллелепипедом, необходимо установить, что все его шесть граней являются параллелограммами.

1. Докажем, что основания $MBND$ и $M_1B_1N_1D_1$ являются параллелограммами.

Рассмотрим четырехугольник $MBND$, лежащий в плоскости основания $ABCD$.Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, его основание $ABCD$ является параллелограммом. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$) и их длины равны ($AB = DC$).Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $AB$ и $DC$ соответственно. Это означает, что отрезок $MB$ лежит на прямой $AB$, а отрезок $DN$ — на прямой $DC$. Так как прямые $AB$ и $DC$ параллельны, то и отрезки $MB$ и $DN$ параллельны ($MB \parallel DN$).По условию задачи, $AM = CN$.Длины отрезков $MB$ и $DN$ можно выразить как:$MB = AB - AM$$DN = DC - CN$Так как $AB = DC$ и $AM = CN$, то $MB = DN$.В четырехугольнике $MBND$ противоположные стороны $MB$ и $DN$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник $MBND$ является параллелограммом.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $M_1B_1N_1D_1$, лежащий в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.Грань $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, поэтому $A_1B_1 \parallel D_1C_1$ и $A_1B_1 = D_1C_1$.Точки $M_1$ и $N_1$ лежат на ребрах $A_1B_1$ и $D_1C_1$ соответственно. Следовательно, $M_1B_1 \parallel D_1N_1$.По условию, $A_1M_1 = C_1N_1$.Длины отрезков $M_1B_1$ и $D_1N_1$ равны:$M_1B_1 = A_1B_1 - A_1M_1$$D_1N_1 = D_1C_1 - C_1N_1$Так как $A_1B_1 = D_1C_1$ и $A_1M_1 = C_1N_1$, то $M_1B_1 = D_1N_1$.В четырехугольнике $M_1B_1N_1D_1$ противоположные стороны $M_1B_1$ и $D_1N_1$ параллельны и равны. Следовательно, $M_1B_1N_1D_1$ является параллелограммом.

2. Докажем, что боковые грани $MBB_1M_1$, $BNN_1B_1$, $NDD_1N_1$ и $DMM_1D_1$ являются параллелограммами.

Сначала докажем, что отрезки $MM_1$ и $NN_1$ параллельны и равны боковым ребрам исходного параллелепипеда.Рассмотрим четырехугольник $AMM_1A_1$ в плоскости грани $ABB_1A_1$. Грань $ABB_1A_1$ — параллелограмм, поэтому $AB \parallel A_1B_1$ и $AA_1 \parallel BB_1$. Из $AB \parallel A_1B_1$ следует, что $AM \parallel A_1M_1$. По условию $AM = A_1M_1$. Четырехугольник $AMM_1A_1$, у которого две противоположные стороны ($AM$ и $A_1M_1$) параллельны и равны, является параллелограммом. Значит, $MM_1 \parallel AA_1$ и $MM_1 = AA_1$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $CNN_1C_1$ в плоскости грани $DCC_1D_1$. Грань $DCC_1D_1$ — параллелограмм, поэтому $DC \parallel D_1C_1$ и $CC_1 \parallel DD_1$. Из $DC \parallel D_1C_1$ следует, что прямые, содержащие отрезки $CN$ и $C_1N_1$, параллельны. По условию $CN=C_1N_1$ (так как $CN=AM=A_1M_1=C_1N_1$). Рассмотрим четырехугольник $DNC_1N_1$. Он лежит в плоскости сечения, проходящего через параллельные прямые $DC$ и $D_1C_1$.Более строго, в параллелограмме $DCC_1D_1$ имеем $DD_1 \parallel CC_1$ и $DD_1=CC_1$. Векторно $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$. Также $\vec{DN} = \vec{MB}$ и $\vec{D_1N_1} = \vec{M_1B_1}$. Вектор $\vec{NN_1} = \vec{ND} + \vec{DD_1} + \vec{D_1N_1}$. Это сложно.Вернемся к $CNN_1C_1$. Так как $DCC_1D_1$ параллелограмм, то $\vec{DC} = \vec{D_1C_1}$ и $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$. Пусть $\vec{CN} = k \cdot \vec{CD}$ и $\vec{C_1N_1} = k \cdot \vec{C_1D_1}$ (поскольку $CN = C_1N_1$ и $CD = C_1D_1$, коэффициент $k$ одинаков). Тогда $\vec{NN_1} = \vec{NC} + \vec{CC_1} + \vec{C_1N_1} = -k\vec{CD} + \vec{CC_1} + k\vec{C_1D_1}$. Так как $\vec{CD} = \vec{C_1D_1}$, то $\vec{NN_1} = \vec{CC_1}$. Отсюда следует, что $NN_1 \parallel CC_1$ и $NN_1 = CC_1$.

В исходном параллелепипеде все боковые ребра параллельны и равны: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$ и $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$.Из доказанного выше ($MM_1 \parallel AA_1$, $MM_1 = AA_1$ и $NN_1 \parallel CC_1$, $NN_1 = CC_1$) следует, что все отрезки $MM_1, BB_1, NN_1, DD_1$ параллельны друг другу и равны по длине.

Теперь мы можем доказать, что боковые грани являются параллелограммами:

• Грань $MBB_1M_1$: стороны $MM_1$ и $BB_1$ параллельны и равны. Следовательно, $MBB_1M_1$ — параллелограмм.
• Грань $BNN_1B_1$: стороны $BB_1$ и $NN_1$ параллельны и равны. Следовательно, $BNN_1B_1$ — параллелограмм.
• Грань $NDD_1N_1$: стороны $NN_1$ и $DD_1$ параллельны и равны. Следовательно, $NDD_1N_1$ — параллелограмм.
• Грань $DMM_1D_1$: стороны $DD_1$ и $MM_1$ параллельны и равны. Следовательно, $DMM_1D_1$ — параллелограмм.

Заключение

Поскольку все шесть граней многогранника $MBNDM_1B_1N_1D_1$ (основания $MBND$, $M_1B_1N_1D_1$ и боковые грани $MBB_1M_1$, $BNN_1B_1$, $NDD_1N_1$, $DMM_1D_1$) являются параллелограммами, данный многогранник является параллелепипедом по определению.Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $MBNDM_1B_1N_1D_1$ является параллелепипедом, доказано.

79. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение: а) плоскостью ABC₁; б) плоскостью АСС₁. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В нём основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — равные параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые рёбра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ параллельны и равны.

а)

Для построения сечения плоскостью $ABC_1$ выполним следующие шаги. Секущая плоскость определена тремя точками $A$, $B$ и $C_1$. Точки $A$ и $B$ лежат в одной грани (нижнее основание $ABCD$), поэтому отрезок $AB$ является стороной сечения. Точки $B$ и $C_1$ лежат в одной грани (боковая грань $BCC_1B_1$), поэтому отрезок $BC_1$ также является стороной сечения.

Секущая плоскость $(ABC_1)$ пересекает две параллельные плоскости, в которых лежат основания параллелепипеда: $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$. По свойству, линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания является прямая $AB$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью верхнего основания должна проходить через точку $C_1$ (которая принадлежит и секущей плоскости, и верхнему основанию) и быть параллельной прямой $AB$. В параллелепипеде $AB \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel D_1C_1$, откуда следует, что $AB \parallel D_1C_1$. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая $D_1C_1$. Это означает, что точка $D_1$ также принадлежит сечению. Соединяя последовательно точки, получаем искомое сечение — четырехугольник $ABC_1D_1$.

Теперь докажем, что построенное сечение $ABC_1D_1$ является параллелограммом. Для этого достаточно показать, что пара его противоположных сторон параллельна и равна. Рассмотрим стороны $AB$ и $D_1C_1$.По определению параллелепипеда, $AB$ — ребро нижнего основания, а $D_1C_1$ — ребро верхнего. Основания являются равными и параллельными параллелограммами. Следовательно, ребро $AB$ параллельно и равно ребру $DC$ ($AB \parallel DC$, $AB = DC$). Боковая грань $DCC_1D_1$ также является параллелограммом, поэтому $DC \parallel D_1C_1$ и $DC = D_1C_1$. Из этих соотношений следует, что $AB \parallel D_1C_1$ и $AB = D_1C_1$.Так как в четырехугольнике $ABC_1D_1$ две противоположные стороны ($AB$ и $D_1C_1$) параллельны и равны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Построенное сечение $ABC_1D_1$ является параллелограммом.

б)

Для построения сечения плоскостью $ACC_1$ соединим заданные точки. Точки $A$ и $C$ лежат в плоскости нижнего основания, поэтому отрезок $AC$ (диагональ основания) является стороной сечения. Точки $C$ и $C_1$ лежат на боковом ребре $CC_1$, поэтому отрезок $CC_1$ также является стороной сечения.

Секущая плоскость $(ACC_1)$ содержит боковое ребро $CC_1$. По определению параллелепипеда, боковое ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$. Плоскость, проходящая через прямую $CC_1$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой, также содержит и прямую, проходящую через точку $A$ параллельно $CC_1$. Такой прямой является ребро $AA_1$. Таким образом, ребро $AA_1$ также лежит в секущей плоскости, а точка $A_1$ является четвертой вершиной сечения. Искомое сечение — это четырехугольник $ACC_1A_1$. Такое сечение называют диагональным.

Докажем, что сечение $ACC_1A_1$ является параллелограммом. Рассмотрим его противоположные стороны $AA_1$ и $CC_1$. По определению параллелепипеда, его боковые ребра параллельны и равны между собой. Следовательно, $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Поскольку в четырехугольнике $ACC_1A_1$ две противоположные стороны параллельны и равны, по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Построенное сечение $ACC_1A_1$ является параллелограммом.

80. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечения плоскостями АBС₁ и DСВ₁, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.

Для решения задачи выполним последовательно все требуемые построения на изображении параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Построение сечения плоскостью $ABC_1$

Секущая плоскость задана тремя точками: $A$, $B$ и $C_1$.

• Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$ и одновременно в секущей плоскости. Следовательно, отрезок $AB$ является одной из сторон искомого сечения.
• Точки $B$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$ и в секущей плоскости. Следовательно, отрезок $BC_1$ также является стороной сечения.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны. В частности, грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость $(ABC_1)$ пересекает их по параллельным прямым. Значит, линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ должна проходить через точку $A$ и быть параллельной отрезку $BC_1$. В параллелепипеде отрезок $AD_1$ параллелен и равен отрезку $BC_1$. Таким образом, точка $D_1$ принадлежит сечению, и отрезок $AD_1$ является его стороной.
• Аналогично, нижнее основание $ABCD$ параллельно верхнему основанию $A_1B_1C_1D_1$. Секущая плоскость пересекает нижнее основание по отрезку $AB$. Следовательно, верхнее основание она пересекает по прямой, проходящей через точку $C_1$ и параллельной $AB$. В параллелепипеде такой прямой является ребро $D_1C_1$.
• Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C_1$ и $D_1$, получаем искомое сечение. Это четырехугольник $ABC_1D_1$. Так как его противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel D_1C_1$ и $AD_1 \parallel BC_1$), то сечение является параллелограммом.

Ответ: Сечение параллелепипеда плоскостью $ABC_1$ есть параллелограмм $ABC_1D_1$.

2. Построение сечения плоскостью $DCB_1$

Секущая плоскость задана точками $D$, $C$ и $B_1$. Построение аналогично предыдущему пункту.

• Отрезки $DC$ (на грани $ABCD$) и $CB_1$ (на грани $BCC_1B_1$) являются сторонами сечения.
• Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Секущая плоскость пересекает грань $BCC_1B_1$ по отрезку $CB_1$. Следовательно, она пересекает грань $ADD_1A_1$ по отрезку, проходящему через точку $D$ и параллельному $CB_1$. Этим отрезком является $DA_1$.
• Основание $ABCD$ параллельно основанию $A_1B_1C_1D_1$. Секущая плоскость пересекает нижнее основание по отрезку $DC$. Следовательно, верхнее основание она пересекает по отрезку, проходящему через точку $B_1$ и параллельному $DC$. Это ребро $A_1B_1$.
• Соединив точки $D$, $C$, $B_1$ и $A_1$, получаем искомое сечение — параллелограмм $DCB_1A_1$.

Ответ: Сечение параллелепипеда плоскостью $DCB_1$ есть параллелограмм $DCB_1A_1$.

3. Построение отрезка, по которому эти сечения пересекаются

Требуется найти отрезок, являющийся пересечением двух построенных сечений: параллелограмма $ABC_1D_1$ и параллелограмма $DCB_1A_1$. Пересечением двух плоскостей является прямая. Мы найдем две точки, принадлежащие обоим сечениям, и соединим их.

• Рассмотрим боковую грань $BCC_1B_1$. Первое сечение $ABC_1D_1$ пересекает эту грань по отрезку $BC_1$. Второе сечение $DCB_1A_1$ пересекает эту же грань по отрезку $CB_1$. Эти отрезки являются диагоналями грани $BCC_1B_1$ и пересекаются в ее центре. Обозначим эту точку $K$. Точка $K$ принадлежит обоим сечениям, а значит, и линии их пересечения.
• Рассмотрим боковую грань $ADD_1A_1$. Первое сечение $ABC_1D_1$ пересекает эту грань по отрезку $AD_1$. Второе сечение $DCB_1A_1$ пересекает эту грань по отрезку $DA_1$. Эти отрезки являются диагоналями грани $ADD_1A_1$ и пересекаются в ее центре. Обозначим эту точку $L$. Точка $L$ также принадлежит обоим сечениям.
• Прямая, проходящая через точки $K$ и $L$, является линией пересечения плоскостей сечений. Поскольку точки $K$ и $L$ являются центрами граней параллелепипеда, они находятся внутри него. Следовательно, весь отрезок $KL$ лежит внутри параллелепипеда и является отрезком, по которому пересекаются данные сечения.

Ответ: Искомый отрезок, по которому пересекаются сечения, — это отрезок $KL$, соединяющий центры противоположных боковых граней $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$.

81. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте точки М и N соответственно на рёбрах BB₁ и CC₁. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC; б) прямой AM с плоскостью А₁B₁C₁.

Сначала изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и отметим на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ точки $M$ и $N$ соответственно, как указано в условии.

а) Построение точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$.

1. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, нужно найти прямую, лежащую в этой плоскости, с которой пересекается данная прямая.

2. Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $BB_1$ и $CC_1$. Эти ребра принадлежат боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, вся прямая $MN$ лежит в плоскости этой грани, то есть $MN \subset (BCC_1)$.

3. Плоскость основания $ABC$ и плоскость боковой грани $BCC_1$ пересекаются по прямой $BC$.

4. Точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$ должна лежать на линии пересечения плоскостей, в которых они находятся. То есть, искомая точка является точкой пересечения прямых $MN$ и $BC$.

5. Прямые $MN$ и $BC$ обе лежат в плоскости $BCC_1$. В общем случае они не параллельны, а значит, пересекаются. Для построения их точки пересечения $P$ достаточно продлить отрезки $MN$ и $BC$ до их пересечения.

6. Точка $P = MN \cap BC$. Так как $P \in MN$ и $P \in BC$, а $BC \subset (ABC)$, то точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка – это точка пересечения прямых $MN$ и $BC$. Для ее построения необходимо продлить отрезки $MN$ и $BC$ в плоскости грани $BCC_1B_1$ до их пересечения.

б) Построение точки пересечения прямой $AM$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

1. Будем действовать по аналогии с пунктом а).

2. Точка $A$ и точка $M$ (лежащая на ребре $BB_1$) принадлежат передней грани $ABB_1A_1$. Следовательно, вся прямая $AM$ лежит в плоскости этой грани, то есть $AM \subset (ABB_1)$.

3. Плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$ и плоскость передней грани $ABB_1$ пересекаются по прямой $A_1B_1$.

4. Искомая точка пересечения прямой $AM$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $A_1B_1$.

5. Прямые $AM$ и $A_1B_1$ обе лежат в плоскости $ABB_1$. В общем случае они не параллельны, значит, пересекаются. Для построения их точки пересечения $Q$ достаточно продлить отрезки $AM$ и $A_1B_1$ до их пересечения.

6. Точка $Q = AM \cap A_1B_1$. Так как $Q \in AM$ и $Q \in A_1B_1$, а $A_1B_1 \subset (A_1B_1C_1)$, то точка $Q$ является точкой пересечения прямой $AM$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Ответ: Искомая точка – это точка пересечения прямых $AM$ и $A_1B_1$. Для ее построения необходимо продлить отрезки $AM$ и $A_1B_1$ в плоскости грани $ABB_1A_1$ до их пересечения.

82. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте внутреннюю точку М грани АА₁B₁В. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани BB₁C₁C; в) плоскости BDD₁.

Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и отметим произвольную внутреннюю точку $M$ на грани $AA_1B_1B$.

Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно заданной плоскости, основывается на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

а) Построение сечения, параллельного плоскости основания ABCD

1. Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, $\alpha$ проходит через точку $M$ и $\alpha \parallel (ABCD)$. Точка $M$ принадлежит плоскости грани $(AA_1B_1B)$.

2. Плоскость $(AA_1B_1B)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$ по прямой $AB$. Поскольку $\alpha \parallel (ABCD)$, то плоскость $\alpha$ должна пересекать плоскость $(AA_1B_1B)$ по прямой, которая проходит через точку $M$ и параллельна прямой $AB$. Проведем эту прямую в плоскости $(AA_1B_1B)$. Пусть она пересекает ребра $AA_1$ и $BB_1$ в точках $M_1$ и $M_2$ соответственно. Отрезок $M_1M_2$ — это след сечения на грани $AA_1B_1B$.

3. Точка $M_2$ лежит на ребре $BB_1$ и, следовательно, в плоскости грани $(BB_1C_1C)$. Плоскость $(BB_1C_1C)$ пересекает плоскость $(ABCD)$ по прямой $BC$. Так как $\alpha \parallel (ABCD)$, след сечения на грани $(BB_1C_1C)$ — это прямая, проходящая через $M_2$ параллельно $BC$. Проведем эту прямую до пересечения с ребром $CC_1$ в точке $M_3$. Получаем отрезок $M_2M_3$.

4. Аналогично, из точки $M_3$, принадлежащей грани $(CC_1D_1D)$, проведем прямую, параллельную прямой $CD$ (линии пересечения плоскостей $(CC_1D_1D)$ и $(ABCD)$). Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в точке $M_4$. Получаем отрезок $M_3M_4$.

5. Соединим точки $M_4$ и $M_1$. Отрезок $M_4M_1$ лежит в плоскости грани $(AA_1D_1D)$. Так как плоскости противоположных граней параллелепипеда параллельны, отрезки сечения на них также будут параллельны. В частности, $M_4M_1 \parallel M_2M_3$. Кроме того, $M_4M_1 \parallel AD$.

В результате получаем четырехугольник $M_1M_2M_3M_4$. Так как его противолежащие стороны попарно параллельны ($M_1M_2 \parallel M_3M_4$ как следы на параллельных гранях и $M_2M_3 \parallel M_4M_1$ по той же причине), то он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $M_1M_2M_3M_4$, вершины которого лежат на боковых ребрах параллелепипеда ($M_1 \in AA_1$, $M_2 \in BB_1$, $M_3 \in CC_1$, $M_4 \in DD_1$), а стороны параллельны соответствующим сторонам основания.

б) Построение сечения, параллельного грани BB?C?C

1. Обозначим искомую плоскость сечения как $\beta$. По условию, $\beta$ проходит через точку $M \in (AA_1B_1B)$ и $\beta \parallel (BB_1C_1C)$.

2. Плоскость $(AA_1B_1B)$ пересекается с плоскостью $(BB_1C_1C)$ по прямой $BB_1$. Так как $\beta \parallel (BB_1C_1C)$, то след сечения на грани $(AA_1B_1B)$ — это прямая, проходящая через $M$ параллельно $BB_1$. Проведем эту прямую. Пусть она пересекает ребра $AB$ и $A_1B_1$ в точках $N_1$ и $N_2$ соответственно. Отрезок $N_1N_2$ — это след сечения на грани $AA_1B_1B$.

3. Точка $N_1$ лежит на ребре $AB$ и, следовательно, в плоскости основания $(ABCD)$. Плоскость $(ABCD)$ пересекается с плоскостью $(BB_1C_1C)$ по прямой $BC$. Проведем через $N_1$ в плоскости $(ABCD)$ прямую, параллельную $BC$. Она пересечет ребро $CD$ в точке $N_3$. Отрезок $N_1N_3$ — это след сечения на основании $ABCD$.

4. Точка $N_2$ лежит на ребре $A_1B_1$ и, следовательно, в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Плоскость $(A_1B_1C_1D_1)$ пересекается с плоскостью $(BB_1C_1C)$ по прямой $B_1C_1$. Проведем через $N_2$ в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$ прямую, параллельную $B_1C_1$. Она пересечет ребро $C_1D_1$ в точке $N_4$. Отрезок $N_2N_4$ — это след сечения на грани $A_1B_1C_1D_1$.

5. Соединим точки $N_3$ и $N_4$. Этот отрезок лежит в грани $(CC_1D_1D)$. Так как $N_1N_2 \parallel BB_1$ и $BB_1 \parallel CC_1$, то $N_3N_4$ будет автоматически параллелен $CC_1$ и $N_1N_2$. Четырехугольник $N_1N_2N_4N_3$ — искомое сечение. Он является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $N_1N_2N_4N_3$, вершины которого лежат на ребрах $AB, A_1B_1, C_1D_1, CD$.

в) Построение сечения, параллельного плоскости BDD?

Плоскость, определяемая тремя точками $B$, $D$ и $D_1$, также содержит и точку $B_1$, так как $B_1$ лежит на прямой, проходящей через $B$ параллельно $DD_1$. Таким образом, плоскость $(BDD_1)$ — это диагональная плоскость $(BDD_1B_1)$.

1. Обозначим искомую плоскость сечения как $\gamma$. По условию, $\gamma$ проходит через точку $M \in (AA_1B_1B)$ и $\gamma \parallel (BDD_1B_1)$.

2. Плоскость грани $(AA_1B_1B)$ пересекается с плоскостью $(BDD_1B_1)$ по прямой $BB_1$. Так как $\gamma \parallel (BDD_1B_1)$, ее след на грани $(AA_1B_1B)$ — это прямая, проходящая через $M$ параллельно $BB_1$. Проведем эту прямую. Пусть она пересекает ребра $AB$ и $A_1B_1$ в точках $K_1$ и $K_2$ соответственно. Отрезок $K_1K_2$ — это часть сечения.

3. Точка $K_1$ лежит в плоскости основания $(ABCD)$. Плоскость $(ABCD)$ пересекается с плоскостью $(BDD_1B_1)$ по диагонали $BD$. Так как $\gamma \parallel (BDD_1B_1)$, ее след на основании $(ABCD)$ — это прямая, проходящая через $K_1$ параллельно $BD$. Проведем эту прямую в плоскости $(ABCD)$. Она пересечет ребро $AD$ в точке $K_3$. Отрезок $K_1K_3$ — это часть сечения.

4. Точка $K_2$ лежит в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Эта плоскость пересекается с плоскостью $(BDD_1B_1)$ по диагонали $B_1D_1$. След сечения $\gamma$ на верхней грани — это прямая, проходящая через $K_2$ параллельно $B_1D_1$. Проведем эту прямую в плоскости $(A_1B_1C_1D_1)$. Она пересечет ребро $A_1D_1$ в точке $K_4$. Отрезок $K_2K_4$ — это часть сечения.

5. Точки $K_3$ и $K_4$ лежат в плоскости грани $(AA_1D_1D)$. Соединим их. Отрезок $K_3K_4$ замыкает сечение. По построению, $K_1K_3 \parallel BD$ и $K_2K_4 \parallel B_1D_1$. Так как $BD \parallel B_1D_1$, то $K_1K_3 \parallel K_2K_4$. Аналогично, $K_1K_2 \parallel BB_1$. Плоскость сечения $\gamma$ пересекает параллельные плоскости $(AA_1D_1D)$ и $(BB_1C_1C)$ по параллельным прямым. Линия пересечения $\gamma$ и $(AA_1D_1D)$ — это $K_3K_4$. Линия пересечения $(BDD_1B_1)$ и $(AA_1D_1D)$ — это $DD_1$. Так как $\gamma \parallel (BDD_1B_1)$, то $K_3K_4 \parallel DD_1$. Поскольку $BB_1 \parallel DD_1$, получаем $K_1K_2 \parallel K_3K_4$.

В результате получаем четырехугольник $K_1K_3K_4K_2$. Так как его противолежащие стороны попарно параллельны, он является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — это параллелограмм $K_1K_3K_4K_2$, вершины которого лежат на ребрах $AB, AD, A_1D_1, A_1B_1$.

83. Изобразите параллелепипед ABCDA₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро СС₁ и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости AB₁C₁.

а)

Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AD_1$ и $A_1D$ грани $AA_1D_1D$. Cекущая плоскость $\alpha$ проходит через ребро $CC_1$ и точку $O$.

1. Так как секущая плоскость $\alpha$ проходит через ребро $CC_1$, то вся прямая $CC_1$ принадлежит этой плоскости. Таким образом, отрезок $CC_1$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Точка $O$ принадлежит плоскости $\alpha$ по условию. Также точка $O$ лежит в плоскости боковой грани $AA_1D_1D$.

3. Плоскости боковых граней $AA_1D_1D$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $BCC_1B_1$ по прямой $CC_1$. По свойству, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $AA_1D_1D$ должна быть параллельна прямой $CC_1$.

4. Проведем в плоскости $AA_1D_1D$ через точку $O$ прямую, параллельную $CC_1$ (а значит, и $DD_1$). Пусть эта прямая пересекает ребра $AD$ и $A_1D_1$ в точках $N$ и $M$ соответственно. Отрезок $MN$ является линией пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1D_1D$.

5. Соединим последовательно точки. Точки $C_1$ и $M$ лежат в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$, поэтому отрезок $C_1M$ — линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью. Точки $C$ и $N$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$, поэтому отрезок $CN$ — линия пересечения секущей плоскости с нижней гранью.

6. Полученный четырехугольник $CC_1MN$ является искомым сечением. Так как мы строили $MN \parallel CC_1$, то $CC_1MN$ — трапеция. Поскольку $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $AA_1D_1D$, то $O$ является их серединой. Прямая $MN$, проходящая через середину $O$ диагонали $A_1D$ параллельно стороне $DD_1$, по теореме Фалеса делит стороны $AD$ и $A_1D_1$ пополам. Следовательно, $N$ — середина $AD$, а $M$ — середина $A_1D_1$. Тогда $MN$ является отрезком, соединяющим середины боковых сторон параллелограмма, и $MN = DD_1 = CC_1$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $CC_1MN$, где $M$ — середина ребра $A_1D_1$, а $N$ — середина ребра $AD$.

б)

Изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть $P$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ грани $ABCD$. Секущая плоскость $\beta$ проходит через точку $P$ параллельно плоскости $AB_1C_1$.

Построение сечения основано на свойстве: если плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$, то линия пересечения $\beta$ с любой третьей плоскостью $\delta$ параллельна линии пересечения $\gamma$ с $\delta$.

1. Найдем линию пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью основания $ABCD$. Эта линия должна проходить через точку $P$. Так как $B_1C_1 \parallel AD$, то прямая $AD$ параллельна плоскости $AB_1C_1$. Следовательно, плоскость $\beta$, параллельная плоскости $AB_1C_1$, также будет параллельна прямой $AD$. Линия пересечения плоскости $\beta$ с плоскостью $ABCD$ — это прямая, проходящая через точку $P$ параллельно $AD$. Эта прямая пересекает ребра $AB$ и $CD$ в их серединах. Обозначим эти точки $R$ и $Q$ соответственно. Отрезок $RQ$ — сторона искомого сечения.

2. Найдем линию пересечения плоскости $\beta$ с гранью $ABB_1A_1$. Эта линия проходит через точку $R$. Плоскость $AB_1C_1$ пересекает грань $ABB_1A_1$ по прямой $AB_1$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\beta$ с гранью $ABB_1A_1$ должна быть параллельна $AB_1$. Проведем через точку $R$ (середину $AB$) прямую, параллельную $AB_1$. По теореме Фалеса, эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в его середине. Обозначим эту точку $S$. Отрезок $RS$ — вторая сторона сечения.

3. Найдем линию пересечения плоскости $\beta$ с гранью $BCC_1B_1$. Она проходит через точку $S$. Плоскость $AB_1C_1$ пересекает эту грань по прямой $B_1C_1$. Следовательно, искомая линия пересечения должна быть параллельна $B_1C_1$. Проведем через точку $S$ (середину $BB_1$) прямую, параллельную $B_1C_1$. Она пересечет ребро $CC_1$ в его середине. Обозначим эту точку $T$. Отрезок $ST$ — третья сторона сечения.

4. Точки $T$ (середина $CC_1$) и $Q$ (середина $CD$) лежат в плоскости грани $CDD_1C_1$. Отрезок $TQ$ является четвертой стороной сечения. Проверим правильность построения: в $\triangle CC_1D$ отрезок $TQ$ является средней линией, поэтому $TQ \parallel C_1D$. Диагонали противоположных граней $CDD_1C_1$ и $BAA_1B_1$ параллельны, то есть $C_1D \parallel B_1A$. Прямая $B_1A$ лежит в плоскости $AB_1C_1$. Таким образом, $TQ \parallel B_1A$, а значит $TQ \parallel (AB_1C_1)$, что подтверждает правильность построения.

5. Соединяя точки $Q$ и $R$, мы замыкаем сечение. Полученный четырехугольник $RSTQ$ — искомое сечение. Так как $RQ \parallel AD$ и $ST \parallel BC$, а $AD \parallel BC$, то $RQ \parallel ST$. Более того, $RQ = AD$ и $ST = BC$. Так как $AD=BC$, то $RQ = ST$. Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение — параллелограмм $RSTQ$, вершины которого являются серединами ребер $AB, BB_1, CC_1$ и $CD$.

84. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В₁, D₁ и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Построение

1. Обозначим точку, являющуюся серединой ребра $CD$, буквой $M$. Нам нужно построить сечение, проходящее через точки $B_1, D_1, M$.
2. Точки $B_1$ и $D_1$ лежат в одной плоскости — плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединим их, получив отрезок $B_1D_1$, который является одной из сторон искомого сечения.
3. Точки $D_1$ и $M$ лежат в одной плоскости — плоскости задней грани $CDD_1C_1$. Соединим их, получив отрезок $D_1M$, который является второй стороной сечения.
4. Теперь воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Плоскости оснований параллелепипеда параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1D_1)$.
5. Наша секущая плоскость пересекает верхнее основание по прямой $B_1D_1$. Следовательно, нижнее основание $(ABCD)$ она должна пересечь по прямой, параллельной $B_1D_1$. Эта прямая должна проходить через точку $M$, которая принадлежит и секущей плоскости, и плоскости нижнего основания.
6. В параллелепипеде диагонали противоположных граней, соединяющие соответственные вершины, параллельны. Таким образом, диагональ $BD$ нижнего основания параллельна диагонали $B_1D_1$ верхнего основания ($BD \parallel B_1D_1$).
7. Из пунктов 5 и 6 следует, что в плоскости нижнего основания мы должны провести через точку $M$ прямую, параллельную $BD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $BC$ в точке $K$. Отрезок $MK$ — третья сторона сечения.
8. Точки $B_1$ и $K$ лежат в одной плоскости — плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $B_1K$. Это четвертая сторона сечения.
9. В результате мы получили четырехугольник $B_1KD_1M$, который является искомым сечением.



Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $B_1KD_1M$.

Доказательство

Чтобы доказать, что четырехугольник $B_1KD_1M$ является трапецией, нужно доказать, что у него есть одна пара параллельных сторон, а другая пара сторон не параллельна.
1. Рассмотрим стороны $MK$ и $B_1D_1$. По построению (шаг 7) мы провели прямую $MK$ в плоскости $(ABCD)$ так, что $MK \parallel BD$.
2. Как было отмечено ранее (шаг 6), диагонали оснований $BD$ и $B_1D_1$ параллельны, так как они лежат в параллельных плоскостях и являются соответственными элементами равных параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. То есть, $BD \parallel B_1D_1$.
3. Из того, что $MK \parallel BD$ и $BD \parallel B_1D_1$, по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $MK \parallel B_1D_1$.
4. Таким образом, в четырехугольнике $B_1KD_1M$ есть пара параллельных сторон ($MK$ и $B_1D_1$), которые являются его основаниями.
5. Теперь докажем, что две другие стороны, $B_1K$ и $D_1M$, не параллельны. Рассмотрим треугольник $BCD$. Так как $M$ — середина стороны $CD$, а отрезок $MK$ параллелен стороне $BD$, то по теореме Фалеса (или свойству средней линии) точка $K$ является серединой стороны $BC$. Таким образом, $CM = \frac{1}{2}CD$ и $BK = \frac{1}{2}BC$. В общем случае параллелепипеда $CD \neq BC$, поэтому отрезки $D_1M$ и $B_1K$ не равны. Также они не параллельны, так как векторы $\vec{D_1M}$ и $\vec{B_1K}$ не коллинеарны.
6. Поскольку четырехугольник $B_1KD_1M$ имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны, по определению он является трапецией.

Ответ: Построенное сечение $B_1KD_1M$ является трапецией, так как его стороны $MK$ и $B_1D_1$ параллельны, а стороны $B_1K$ и $D_1M$ не параллельны, что соответствует определению трапеции.

85. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью BKL, где точка K — середина ребра АА₁, а точка L — середина ребра СС₁. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью $BKL$, где точка $K$ — середина ребра $AA_1$, а точка $L$ — середина ребра $CC_1$.

Сначала построим линии пересечения секущей плоскости $(BKL)$ с гранями параллелепипеда. Точки $B$ и $K$ принадлежат одной грани $AA_1B_1B$, поэтому соединяем их отрезком $BK$. Точки $B$ и $L$ принадлежат одной грани $BCC_1B_1$, поэтому соединяем их отрезком $BL$. Отрезки $BK$ и $BL$ являются сторонами искомого сечения.

Далее воспользуемся свойством: если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Следовательно, плоскость $(BKL)$ пересекает грань $ADD_1A_1$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной отрезку $BL$. Аналогично, грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$. Следовательно, плоскость $(BKL)$ пересекает грань $CDD_1C_1$ по прямой, проходящей через точку $L$ и параллельной отрезку $BK$.

Четвертая вершина сечения будет точкой пересечения этих двух построенных линий. Установим, что этой точкой является вершина $D_1$ параллелепипеда. Для этого докажем, что точка $D_1$ лежит в плоскости $(BKL)$. Введем базисные векторы с началом в вершине $A$: $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим векторы положения точек $B, K, L, D_1$ относительно точки $A$:

$\vec{AB} = \vec{b}$

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{c}$ (так как $K$ — середина $AA_1$)

$\vec{AL} = \vec{AC} + \vec{CL} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \frac{1}{2}\vec{CC_1} = (\vec{b} + \vec{a}) + \frac{1}{2}\vec{c}$ (так как $L$ — середина $CC_1$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$)

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$

Точка $D_1$ лежит в плоскости $(BKL)$, если вектор $\vec{BD_1}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BL}$ (т.е. если эти три вектора компланарны).

$\vec{BK} = \vec{AK} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$

$\vec{BL} = \vec{AL} - \vec{AB} = (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

$\vec{BD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AB} = (\vec{a} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

Сложим векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BL}$: $\vec{BK} + \vec{BL} = (\frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Полученное выражение совпадает с вектором $\vec{BD_1}$. Так как $\vec{BD_1} = \vec{BK} + \vec{BL}$, то векторы $\vec{BD_1}, \vec{BK}, \vec{BL}$ компланарны, и точка $D_1$ действительно лежит в секущей плоскости. Таким образом, построенное сечение — это четырехугольник $BKD_1L$.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник, вершинами которого являются точки $B, K, D_1$ и $L$.

Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник $BKD_1L$ является параллелограммом, достаточно показать, что одна пара его противолежащих сторон параллельна и равна по длине. Это можно сделать, показав равенство векторов, соответствующих этим сторонам.

Воспользуемся векторным представлением, введенным в предыдущем пункте. Рассмотрим пару противолежащих сторон $BK$ и $LD_1$.

Вектор $\vec{BK}$ был найден ранее: $\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$.

Найдем вектор $\vec{LD_1}$:

$\vec{LD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AL} = (\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \vec{a} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$.

Поскольку векторы $\vec{BK}$ и $\vec{LD_1}$ равны ($\vec{BK} = \vec{LD_1}$), то соответствующие им отрезки $BK$ и $LD_1$ параллельны ($BK \parallel LD_1$) и равны по длине ($BK = LD_1$).

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, сечение $BKD_1L$ — параллелограмм.

Для полноты доказательства можно проверить и вторую пару сторон $BL$ и $KD_1$.

Вектор $\vec{BL}$ был найден ранее: $\vec{BL} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Найдем вектор $\vec{KD_1}$:

$\vec{KD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AK} = (\vec{a} + \vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Так как $\vec{BL} = \vec{KD_1}$, стороны $BL$ и $KD_1$ также параллельны и равны по длине.

Поскольку обе пары противолежащих сторон четырехугольника $BKD_1L$ параллельны и равны, он является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $BKD_1L$ является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны и равны (например, из равенства векторов $\vec{BK} = \vec{LD_1}$). Что и требовалось доказать.

86. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD₁. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы АВВ₁ и СВВ₁ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ $AC$ основания параллельно диагонали $BD_1$.

1. Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Необходимо построить сечение плоскостью $\alpha$, которая удовлетворяет двум условиям: она содержит диагональ $AC$ и параллельна диагонали $BD_1$.

2. Так как плоскость сечения $\alpha$ проходит через прямую $AC$, все точки этой прямой, включая $A$ и $C$, принадлежат плоскости $\alpha$.

3. Для построения плоскости, параллельной прямой $BD_1$, мы можем провести через любую точку в плоскости $\alpha$ прямую, параллельную $BD_1$. Эта новая прямая также будет лежать в плоскости $\alpha$.

4. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Поскольку $O$ лежит на $AC$, точка $O$ также принадлежит плоскости сечения $\alpha$.

5. Проведем через точку $O$ прямую, параллельную $BD_1$. Обозначим эту прямую $l$. Прямая $l$ лежит в плоскости сечения $\alpha$.

6. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $BDD_1B_1$. В этой плоскости лежат прямая $BD_1$ и точка $O$ (так как $O \in BD$). Прямая $l$, проходящая через $O$ и параллельная $BD_1$, также целиком лежит в плоскости $BDD_1B_1$.

7. В параллелограмме $ABCD$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O$ — середина диагонали $BD$. Рассмотрим треугольник $BDD_1$. Отрезок прямой $l$, который лежит внутри треугольника, проходит через середину стороны $BD$ (точку $O$) и параллелен стороне $BD_1$. По свойству средней линии треугольника, этот отрезок является средней линией $\triangle BDD_1$. Следовательно, он пересекает сторону $DD_1$ в её середине. Обозначим эту точку пересечения $K$. Таким образом, $K$ — середина ребра $DD_1$.

8. Мы нашли три точки искомого сечения, не лежащие на одной прямой: $A$, $C$ и $K$. Соединяя их, получаем треугольник $ACK$. Это и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $ACK$, где точка $K$ является серединой ребра $DD_1$.

Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы $ABB_1$ и $CBB_1$ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Для доказательства того, что треугольник $ACK$ является равнобедренным, нужно показать, что две его стороны равны. Мы докажем, что $AK = CK$.

1. По условию, углы $\angle ABB_1$ и $\angle CBB_1$ являются прямыми. Это означает, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ в плоскости основания $ABCD$.

2. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.

3. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. В прямом параллелепипеде все боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) перпендикулярны основаниям.

4. Из того, что $DD_1 \perp \text{пл. } ABCD$, следует, что ребро $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DD_1 \perp AD$ и $DD_1 \perp CD$.

5. Таким образом, треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$ являются прямоугольными, так как углы $\angle ADK$ и $\angle CDK$ равны $90^\circ$.

6. Рассмотрим эти два прямоугольных треугольника, $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$. У них: катет $AD$ равен катету $CD$, поскольку по условию основание $ABCD$ является ромбом, и катет $DK$ является общим.

7. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$ равны по двум катетам.

8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в данном случае — гипотенуз: $AK = CK$.

9. Поскольку в треугольнике $ACK$ две стороны равны ($AK=CK$), он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании того, что параллелепипед является прямым и его основание — ромб, было показано равенство сторон $AK$ и $CK$ сечения, что делает треугольник $ACK$ равнобедренным.