Номер 79, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

79. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение: а) плоскостью ABC₁; б) плоскостью АСС₁. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В нём основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — равные параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые рёбра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ параллельны и равны.

а)

Для построения сечения плоскостью $ABC_1$ выполним следующие шаги. Секущая плоскость определена тремя точками $A$, $B$ и $C_1$. Точки $A$ и $B$ лежат в одной грани (нижнее основание $ABCD$), поэтому отрезок $AB$ является стороной сечения. Точки $B$ и $C_1$ лежат в одной грани (боковая грань $BCC_1B_1$), поэтому отрезок $BC_1$ также является стороной сечения.

Секущая плоскость $(ABC_1)$ пересекает две параллельные плоскости, в которых лежат основания параллелепипеда: $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$. По свойству, линии пересечения параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны. Линией пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания является прямая $AB$. Следовательно, линия пересечения с плоскостью верхнего основания должна проходить через точку $C_1$ (которая принадлежит и секущей плоскости, и верхнему основанию) и быть параллельной прямой $AB$. В параллелепипеде $AB \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel D_1C_1$, откуда следует, что $AB \parallel D_1C_1$. Таким образом, искомая линия пересечения — это прямая $D_1C_1$. Это означает, что точка $D_1$ также принадлежит сечению. Соединяя последовательно точки, получаем искомое сечение — четырехугольник $ABC_1D_1$.

Теперь докажем, что построенное сечение $ABC_1D_1$ является параллелограммом. Для этого достаточно показать, что пара его противоположных сторон параллельна и равна. Рассмотрим стороны $AB$ и $D_1C_1$.По определению параллелепипеда, $AB$ — ребро нижнего основания, а $D_1C_1$ — ребро верхнего. Основания являются равными и параллельными параллелограммами. Следовательно, ребро $AB$ параллельно и равно ребру $DC$ ($AB \parallel DC$, $AB = DC$). Боковая грань $DCC_1D_1$ также является параллелограммом, поэтому $DC \parallel D_1C_1$ и $DC = D_1C_1$. Из этих соотношений следует, что $AB \parallel D_1C_1$ и $AB = D_1C_1$.Так как в четырехугольнике $ABC_1D_1$ две противоположные стороны ($AB$ и $D_1C_1$) параллельны и равны, то по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Построенное сечение $ABC_1D_1$ является параллелограммом.

б)

Для построения сечения плоскостью $ACC_1$ соединим заданные точки. Точки $A$ и $C$ лежат в плоскости нижнего основания, поэтому отрезок $AC$ (диагональ основания) является стороной сечения. Точки $C$ и $C_1$ лежат на боковом ребре $CC_1$, поэтому отрезок $CC_1$ также является стороной сечения.

Секущая плоскость $(ACC_1)$ содержит боковое ребро $CC_1$. По определению параллелепипеда, боковое ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$. Плоскость, проходящая через прямую $CC_1$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой, также содержит и прямую, проходящую через точку $A$ параллельно $CC_1$. Такой прямой является ребро $AA_1$. Таким образом, ребро $AA_1$ также лежит в секущей плоскости, а точка $A_1$ является четвертой вершиной сечения. Искомое сечение — это четырехугольник $ACC_1A_1$. Такое сечение называют диагональным.

Докажем, что сечение $ACC_1A_1$ является параллелограммом. Рассмотрим его противоположные стороны $AA_1$ и $CC_1$. По определению параллелепипеда, его боковые ребра параллельны и равны между собой. Следовательно, $AA_1 \parallel CC_1$ и $AA_1 = CC_1$. Поскольку в четырехугольнике $ACC_1A_1$ две противоположные стороны параллельны и равны, по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Построенное сечение $ACC_1A_1$ является параллелограммом.