Номер 86, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

86. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BD₁. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы АВВ₁ и СВВ₁ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ $AC$ основания параллельно диагонали $BD_1$.

1. Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Необходимо построить сечение плоскостью $\alpha$, которая удовлетворяет двум условиям: она содержит диагональ $AC$ и параллельна диагонали $BD_1$.

2. Так как плоскость сечения $\alpha$ проходит через прямую $AC$, все точки этой прямой, включая $A$ и $C$, принадлежат плоскости $\alpha$.

3. Для построения плоскости, параллельной прямой $BD_1$, мы можем провести через любую точку в плоскости $\alpha$ прямую, параллельную $BD_1$. Эта новая прямая также будет лежать в плоскости $\alpha$.

4. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$. Поскольку $O$ лежит на $AC$, точка $O$ также принадлежит плоскости сечения $\alpha$.

5. Проведем через точку $O$ прямую, параллельную $BD_1$. Обозначим эту прямую $l$. Прямая $l$ лежит в плоскости сечения $\alpha$.

6. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $BDD_1B_1$. В этой плоскости лежат прямая $BD_1$ и точка $O$ (так как $O \in BD$). Прямая $l$, проходящая через $O$ и параллельная $BD_1$, также целиком лежит в плоскости $BDD_1B_1$.

7. В параллелограмме $ABCD$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O$ — середина диагонали $BD$. Рассмотрим треугольник $BDD_1$. Отрезок прямой $l$, который лежит внутри треугольника, проходит через середину стороны $BD$ (точку $O$) и параллелен стороне $BD_1$. По свойству средней линии треугольника, этот отрезок является средней линией $\triangle BDD_1$. Следовательно, он пересекает сторону $DD_1$ в её середине. Обозначим эту точку пересечения $K$. Таким образом, $K$ — середина ребра $DD_1$.

8. Мы нашли три точки искомого сечения, не лежащие на одной прямой: $A$, $C$ и $K$. Соединяя их, получаем треугольник $ACK$. Это и есть искомое сечение.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $ACK$, где точка $K$ является серединой ребра $DD_1$.

Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы $ABB_1$ и $CBB_1$ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Для доказательства того, что треугольник $ACK$ является равнобедренным, нужно показать, что две его стороны равны. Мы докажем, что $AK = CK$.

1. По условию, углы $\angle ABB_1$ и $\angle CBB_1$ являются прямыми. Это означает, что боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ в плоскости основания $ABCD$.

2. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.

3. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, называется прямым параллелепипедом. В прямом параллелепипеде все боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$) перпендикулярны основаниям.

4. Из того, что $DD_1 \perp \text{пл. } ABCD$, следует, что ребро $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DD_1 \perp AD$ и $DD_1 \perp CD$.

5. Таким образом, треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$ являются прямоугольными, так как углы $\angle ADK$ и $\angle CDK$ равны $90^\circ$.

6. Рассмотрим эти два прямоугольных треугольника, $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$. У них: катет $AD$ равен катету $CD$, поскольку по условию основание $ABCD$ является ромбом, и катет $DK$ является общим.

7. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle CDK$ равны по двум катетам.

8. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в данном случае — гипотенуз: $AK = CK$.

9. Поскольку в треугольнике $ACK$ две стороны равны ($AK=CK$), он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основании того, что параллелепипед является прямым и его основание — ромб, было показано равенство сторон $AK$ и $CK$ сечения, что делает треугольник $ACK$ равнобедренным.