Номер 5, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 1. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 5, страница 33.

5. Прямая а параллельна плоскости α. Сколько прямых, лежащих в плоскости α, параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости α?

Эта задача состоит из двух вопросов, которые мы рассмотрим поочередно.

Сколько прямых, лежащих в плоскости ?, параллельны прямой а?

По условию, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.
Для ответа на этот вопрос воспользуемся леммой о параллельных прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Обратное утверждение (следствие из признака параллельности прямой и плоскости) также верно: если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, то в плоскости $\alpha$ существует прямая $b$, параллельная прямой $a$.
Докажем, что таких прямых бесконечно много.
1. Проведем через прямую $a$ какую-нибудь плоскость $\beta$, пересекающую плоскость $\alpha$. Линией пересечения этих плоскостей будет некоторая прямая $b$.
2. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\beta$.
3. Если бы прямые $a$ и $b$ пересекались, то точка их пересечения принадлежала бы и прямой $a$, и плоскости $\alpha$. Но это противоречит условию, что $a \parallel \alpha$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не пересекаются.
4. Две прямые в одной плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Значит, $a \parallel b$. Мы нашли одну такую прямую.
5. В плоскости $\alpha$ через любую точку, не принадлежащую прямой $b$, можно провести прямую $c$, параллельную $b$. Так как в плоскости бесконечно много таких точек, то существует и бесконечно много прямых, параллельных $b$.
6. По теореме о транзитивности параллельных прямых в пространстве: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Так как $c \parallel b$ и $b \parallel a$, то следует, что $c \parallel a$.
Таким образом, в плоскости $\alpha$ существует бесконечное множество прямых, параллельных прямой $a$.

Ответ: В плоскости $\alpha$ лежит бесконечно много прямых, параллельных прямой $a$.

Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости ??

Пусть $b$ и $c$ — это две любые различные прямые, которые лежат в плоскости $\alpha$ и параллельны прямой $a$.
Итак, у нас есть:
1. $b \subset \alpha$ и $c \subset \alpha$
2. $b \parallel a$
3. $c \parallel a$
Применим теорему о параллельности трех прямых: если две прямые ($b$ и $c$) параллельны третьей прямой ($a$), то они параллельны между собой.
Из того, что $b \parallel a$ и $c \parallel a$, напрямую следует, что $b \parallel c$.
Поскольку это рассуждение справедливо для любой пары прямых из плоскости $\alpha$, параллельных прямой $a$, то все такие прямые параллельны друг другу.

Ответ: Да, все прямые, лежащие в плоскости $\alpha$ и параллельные прямой $a$, параллельны друг другу.