Номер 9, страница 33 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

9. Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться; б) быть скрещивающимися?

а) пересекаться

Да, две прямые, параллельные одной и той же плоскости, могут пересекаться.

Рассмотрим две прямые $a$ и $b$ и плоскость $\alpha$, такие что $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$.
Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в некоторой точке $M$. По аксиоме стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Назовем эту плоскость $\beta$.
Таким образом, мы имеем плоскость $\beta$, которая проходит через две пересекающиеся прямые ($a$ и $b$), каждая из которых параллельна плоскости $\alpha$. Согласно признаку параллельности двух плоскостей, в этом случае плоскость $\beta$ будет параллельна плоскости $\alpha$.
Такая геометрическая конфигурация возможна. Для построения примера достаточно выполнить следующие шаги:
1. Выбрать произвольную плоскость $\alpha$.
2. Провести плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$.
3. В плоскости $\beta$ провести две пересекающиеся прямые $a$ и $b$.
Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\beta$, а плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то и сами прямые $a$ и $b$ параллельны плоскости $\alpha$. При этом по построению они пересекаются.

Ответ: да, могут.

б) быть скрещивающимися

Да, две прямые, параллельные одной и той же плоскости, могут быть скрещивающимися.

Скрещивающимися называются прямые, которые не лежат в одной плоскости (то есть не пересекаются и не параллельны).
Рассмотрим плоскость $\alpha$ и две прямые $a$ и $b$, для которых выполнено $a \parallel \alpha$ и $b \parallel \alpha$.
Для доказательства возможности их скрещивания построим наглядный пример:
1. В качестве плоскости $\alpha$ возьмем плоскость пола в комнате.
2. В качестве прямой $a$ возьмем линию стыка потолка и одной из стен. Поскольку потолок параллелен полу, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.
3. В качестве прямой $b$ возьмем линию, лежащую на высоте стола и параллельную смежной (перпендикулярной) стене. Эта прямая также будет параллельна плоскости пола ($\alpha$).
Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, так как находятся на разной высоте (одна на уровне потолка, другая — на уровне стола). Они также не параллельны, так как их направления не совпадают (они соответствуют направлениям перпендикулярных стен). Следовательно, прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.
Более формально: можно взять две различные параллельные плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$, которые также параллельны исходной плоскости $\alpha$. В плоскости $\beta_1$ провести прямую $a$. В плоскости $\beta_2$ провести прямую $b$ так, чтобы она не была параллельна прямой $a$. Поскольку прямые $a$ и $b$ лежат в разных параллельных плоскостях, они не могут пересечься. Так как они не параллельны по построению, они являются скрещивающимися. Обе прямые при этом параллельны плоскости $\alpha$.

Ответ: да, могут.