Номер 85, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

85. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью BKL, где точка K — середина ребра АА₁, а точка L — середина ребра СС₁. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью $BKL$, где точка $K$ — середина ребра $AA_1$, а точка $L$ — середина ребра $CC_1$.

Сначала построим линии пересечения секущей плоскости $(BKL)$ с гранями параллелепипеда. Точки $B$ и $K$ принадлежат одной грани $AA_1B_1B$, поэтому соединяем их отрезком $BK$. Точки $B$ и $L$ принадлежат одной грани $BCC_1B_1$, поэтому соединяем их отрезком $BL$. Отрезки $BK$ и $BL$ являются сторонами искомого сечения.

Далее воспользуемся свойством: если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Следовательно, плоскость $(BKL)$ пересекает грань $ADD_1A_1$ по прямой, проходящей через точку $K$ и параллельной отрезку $BL$. Аналогично, грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$. Следовательно, плоскость $(BKL)$ пересекает грань $CDD_1C_1$ по прямой, проходящей через точку $L$ и параллельной отрезку $BK$.

Четвертая вершина сечения будет точкой пересечения этих двух построенных линий. Установим, что этой точкой является вершина $D_1$ параллелепипеда. Для этого докажем, что точка $D_1$ лежит в плоскости $(BKL)$. Введем базисные векторы с началом в вершине $A$: $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим векторы положения точек $B, K, L, D_1$ относительно точки $A$:

$\vec{AB} = \vec{b}$

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{c}$ (так как $K$ — середина $AA_1$)

$\vec{AL} = \vec{AC} + \vec{CL} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + \frac{1}{2}\vec{CC_1} = (\vec{b} + \vec{a}) + \frac{1}{2}\vec{c}$ (так как $L$ — середина $CC_1$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$)

$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$

Точка $D_1$ лежит в плоскости $(BKL)$, если вектор $\vec{BD_1}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{BK}$ и $\vec{BL}$ (т.е. если эти три вектора компланарны).

$\vec{BK} = \vec{AK} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$

$\vec{BL} = \vec{AL} - \vec{AB} = (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

$\vec{BD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AB} = (\vec{a} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

Сложим векторы $\vec{BK}$ и $\vec{BL}$: $\vec{BK} + \vec{BL} = (\frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Полученное выражение совпадает с вектором $\vec{BD_1}$. Так как $\vec{BD_1} = \vec{BK} + \vec{BL}$, то векторы $\vec{BD_1}, \vec{BK}, \vec{BL}$ компланарны, и точка $D_1$ действительно лежит в секущей плоскости. Таким образом, построенное сечение — это четырехугольник $BKD_1L$.

Ответ: Искомое сечение — это четырехугольник, вершинами которого являются точки $B, K, D_1$ и $L$.

Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник $BKD_1L$ является параллелограммом, достаточно показать, что одна пара его противолежащих сторон параллельна и равна по длине. Это можно сделать, показав равенство векторов, соответствующих этим сторонам.

Воспользуемся векторным представлением, введенным в предыдущем пункте. Рассмотрим пару противолежащих сторон $BK$ и $LD_1$.

Вектор $\vec{BK}$ был найден ранее: $\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$.

Найдем вектор $\vec{LD_1}$:

$\vec{LD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AL} = (\vec{a} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \vec{a} + \vec{c} - \vec{a} - \vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{c} - \vec{b}$.

Поскольку векторы $\vec{BK}$ и $\vec{LD_1}$ равны ($\vec{BK} = \vec{LD_1}$), то соответствующие им отрезки $BK$ и $LD_1$ параллельны ($BK \parallel LD_1$) и равны по длине ($BK = LD_1$).

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, сечение $BKD_1L$ — параллелограмм.

Для полноты доказательства можно проверить и вторую пару сторон $BL$ и $KD_1$.

Вектор $\vec{BL}$ был найден ранее: $\vec{BL} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Найдем вектор $\vec{KD_1}$:

$\vec{KD_1} = \vec{AD_1} - \vec{AK} = (\vec{a} + \vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{c} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$.

Так как $\vec{BL} = \vec{KD_1}$, стороны $BL$ и $KD_1$ также параллельны и равны по длине.

Поскольку обе пары противолежащих сторон четырехугольника $BKD_1L$ параллельны и равны, он является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $BKD_1L$ является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны и равны (например, из равенства векторов $\vec{BK} = \vec{LD_1}$). Что и требовалось доказать.