Номер 80, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

80. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечения плоскостями АBС₁ и DСВ₁, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.

Для решения задачи выполним последовательно все требуемые построения на изображении параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Построение сечения плоскостью $ABC_1$

Секущая плоскость задана тремя точками: $A$, $B$ и $C_1$.

• Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCD$ и одновременно в секущей плоскости. Следовательно, отрезок $AB$ является одной из сторон искомого сечения.
• Точки $B$ и $C_1$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$ и в секущей плоскости. Следовательно, отрезок $BC_1$ также является стороной сечения.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны. В частности, грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость $(ABC_1)$ пересекает их по параллельным прямым. Значит, линия пересечения с гранью $ADD_1A_1$ должна проходить через точку $A$ и быть параллельной отрезку $BC_1$. В параллелепипеде отрезок $AD_1$ параллелен и равен отрезку $BC_1$. Таким образом, точка $D_1$ принадлежит сечению, и отрезок $AD_1$ является его стороной.
• Аналогично, нижнее основание $ABCD$ параллельно верхнему основанию $A_1B_1C_1D_1$. Секущая плоскость пересекает нижнее основание по отрезку $AB$. Следовательно, верхнее основание она пересекает по прямой, проходящей через точку $C_1$ и параллельной $AB$. В параллелепипеде такой прямой является ребро $D_1C_1$.
• Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C_1$ и $D_1$, получаем искомое сечение. Это четырехугольник $ABC_1D_1$. Так как его противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel D_1C_1$ и $AD_1 \parallel BC_1$), то сечение является параллелограммом.

Ответ: Сечение параллелепипеда плоскостью $ABC_1$ есть параллелограмм $ABC_1D_1$.

2. Построение сечения плоскостью $DCB_1$

Секущая плоскость задана точками $D$, $C$ и $B_1$. Построение аналогично предыдущему пункту.

• Отрезки $DC$ (на грани $ABCD$) и $CB_1$ (на грани $BCC_1B_1$) являются сторонами сечения.
• Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$. Секущая плоскость пересекает грань $BCC_1B_1$ по отрезку $CB_1$. Следовательно, она пересекает грань $ADD_1A_1$ по отрезку, проходящему через точку $D$ и параллельному $CB_1$. Этим отрезком является $DA_1$.
• Основание $ABCD$ параллельно основанию $A_1B_1C_1D_1$. Секущая плоскость пересекает нижнее основание по отрезку $DC$. Следовательно, верхнее основание она пересекает по отрезку, проходящему через точку $B_1$ и параллельному $DC$. Это ребро $A_1B_1$.
• Соединив точки $D$, $C$, $B_1$ и $A_1$, получаем искомое сечение — параллелограмм $DCB_1A_1$.

Ответ: Сечение параллелепипеда плоскостью $DCB_1$ есть параллелограмм $DCB_1A_1$.

3. Построение отрезка, по которому эти сечения пересекаются

Требуется найти отрезок, являющийся пересечением двух построенных сечений: параллелограмма $ABC_1D_1$ и параллелограмма $DCB_1A_1$. Пересечением двух плоскостей является прямая. Мы найдем две точки, принадлежащие обоим сечениям, и соединим их.

• Рассмотрим боковую грань $BCC_1B_1$. Первое сечение $ABC_1D_1$ пересекает эту грань по отрезку $BC_1$. Второе сечение $DCB_1A_1$ пересекает эту же грань по отрезку $CB_1$. Эти отрезки являются диагоналями грани $BCC_1B_1$ и пересекаются в ее центре. Обозначим эту точку $K$. Точка $K$ принадлежит обоим сечениям, а значит, и линии их пересечения.
• Рассмотрим боковую грань $ADD_1A_1$. Первое сечение $ABC_1D_1$ пересекает эту грань по отрезку $AD_1$. Второе сечение $DCB_1A_1$ пересекает эту грань по отрезку $DA_1$. Эти отрезки являются диагоналями грани $ADD_1A_1$ и пересекаются в ее центре. Обозначим эту точку $L$. Точка $L$ также принадлежит обоим сечениям.
• Прямая, проходящая через точки $K$ и $L$, является линией пересечения плоскостей сечений. Поскольку точки $K$ и $L$ являются центрами граней параллелепипеда, они находятся внутри него. Следовательно, весь отрезок $KL$ лежит внутри параллелепипеда и является отрезком, по которому пересекаются данные сечения.

Ответ: Искомый отрезок, по которому пересекаются сечения, — это отрезок $KL$, соединяющий центры противоположных боковых граней $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$.