Номер 73, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 73, страница 31.

73. В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами рёбер АВ, ВС и CD, АС = 10 см, ВD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD, и найдите периметр четырёхугольника, получившегося при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP.

Докажите, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$. По условию задачи, точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами рёбер $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Обозначим точку $K$ как середину ребра $AD$.

1. Рассмотрим грань $ABC$ тетраэдра. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. Согласно теореме о средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен третьей стороне $AC$ и равен её половине:
$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

2. Рассмотрим грань $ADC$ тетраэдра. В треугольнике $ADC$ отрезок $KP$ соединяет середины сторон $AD$ и $CD$. Согласно теореме о средней линии треугольника, отрезок $KP$ параллелен третьей стороне $AC$ и равен её половине:
$KP \parallel AC$ и $KP = \frac{1}{2}AC$.

3. Из результатов пунктов 1 и 2 мы имеем, что $MN \parallel AC$ и $KP \parallel AC$. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $MN \parallel KP$.

4. Две параллельные прямые ($MN$ и $KP$) однозначно задают плоскость. Это означает, что все четыре точки $M, N, P, K$ лежат в одной плоскости.

Так как точки $M, N, P$ по определению задают плоскость $MNP$, а точка $K$ лежит в той же самой плоскости, то плоскость $MNP$ проходит через точку $K$, которая является серединой ребра $AD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскость MNP проходит через середину K ребра AD.

найдите периметр четырёхугольника, получившегося при пересечении тетраэдра с плоскостью MNP

Из предыдущего доказательства следует, что сечением тетраэдра плоскостью $MNP$ является четырёхугольник $MNPK$. Периметр этого четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон: $P_{MNPK} = MN + NP + PK + KM$.

1. Длины сторон $MN$ и $PK$. Как мы установили ранее, $MN$ и $PK$ являются средними линиями треугольников $ABC$ и $ADC$ соответственно, и их длина равна половине длины ребра $AC$.
По условию $AC = 10$ см, следовательно:
$MN = PK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

2. Длина стороны $NP$. В треугольнике $BCD$ отрезок $NP$ соединяет середины сторон $BC$ и $CD$. Таким образом, $NP$ является средней линией треугольника $BCD$, и её длина равна половине длины ребра $BD$.
По условию $BD = 12$ см, следовательно:
$NP = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

3. Длина стороны $KM$. В треугольнике $ABD$ отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. Таким образом, $KM$ является средней линией треугольника $ABD$, и её длина равна половине длины ребра $BD$.
По условию $BD = 12$ см, следовательно:
$KM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

4. Теперь можно вычислить периметр четырёхугольника $MNPK$.
$P_{MNPK} = MN + NP + PK + KM = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} + 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 22$ см.
(Заметим, что $MN \parallel PK$ и $KM \parallel NP$, так как обе эти стороны параллельны $BD$. Следовательно, сечение $MNPK$ является параллелограммом).

Ответ: 22 см.