Номер 78, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

78. На рисунке 42 изображён параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, на рёбрах которого отмечены точки М, N, М₁ и N₁ так, что AM = CN = A₁M₁ = C₁N₁. Докажите, что MBNDM₁B₁N₁D₁ — параллелепипед.

Для доказательства того, что многогранник $MBNDM_1B_1N_1D_1$ является параллелепипедом, необходимо установить, что все его шесть граней являются параллелограммами.

1. Докажем, что основания $MBND$ и $M_1B_1N_1D_1$ являются параллелограммами.

Рассмотрим четырехугольник $MBND$, лежащий в плоскости основания $ABCD$.Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, его основание $ABCD$ является параллелограммом. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$) и их длины равны ($AB = DC$).Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $AB$ и $DC$ соответственно. Это означает, что отрезок $MB$ лежит на прямой $AB$, а отрезок $DN$ — на прямой $DC$. Так как прямые $AB$ и $DC$ параллельны, то и отрезки $MB$ и $DN$ параллельны ($MB \parallel DN$).По условию задачи, $AM = CN$.Длины отрезков $MB$ и $DN$ можно выразить как:$MB = AB - AM$$DN = DC - CN$Так как $AB = DC$ и $AM = CN$, то $MB = DN$.В четырехугольнике $MBND$ противоположные стороны $MB$ и $DN$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник $MBND$ является параллелограммом.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $M_1B_1N_1D_1$, лежащий в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$.Грань $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, поэтому $A_1B_1 \parallel D_1C_1$ и $A_1B_1 = D_1C_1$.Точки $M_1$ и $N_1$ лежат на ребрах $A_1B_1$ и $D_1C_1$ соответственно. Следовательно, $M_1B_1 \parallel D_1N_1$.По условию, $A_1M_1 = C_1N_1$.Длины отрезков $M_1B_1$ и $D_1N_1$ равны:$M_1B_1 = A_1B_1 - A_1M_1$$D_1N_1 = D_1C_1 - C_1N_1$Так как $A_1B_1 = D_1C_1$ и $A_1M_1 = C_1N_1$, то $M_1B_1 = D_1N_1$.В четырехугольнике $M_1B_1N_1D_1$ противоположные стороны $M_1B_1$ и $D_1N_1$ параллельны и равны. Следовательно, $M_1B_1N_1D_1$ является параллелограммом.

2. Докажем, что боковые грани $MBB_1M_1$, $BNN_1B_1$, $NDD_1N_1$ и $DMM_1D_1$ являются параллелограммами.

Сначала докажем, что отрезки $MM_1$ и $NN_1$ параллельны и равны боковым ребрам исходного параллелепипеда.Рассмотрим четырехугольник $AMM_1A_1$ в плоскости грани $ABB_1A_1$. Грань $ABB_1A_1$ — параллелограмм, поэтому $AB \parallel A_1B_1$ и $AA_1 \parallel BB_1$. Из $AB \parallel A_1B_1$ следует, что $AM \parallel A_1M_1$. По условию $AM = A_1M_1$. Четырехугольник $AMM_1A_1$, у которого две противоположные стороны ($AM$ и $A_1M_1$) параллельны и равны, является параллелограммом. Значит, $MM_1 \parallel AA_1$ и $MM_1 = AA_1$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $CNN_1C_1$ в плоскости грани $DCC_1D_1$. Грань $DCC_1D_1$ — параллелограмм, поэтому $DC \parallel D_1C_1$ и $CC_1 \parallel DD_1$. Из $DC \parallel D_1C_1$ следует, что прямые, содержащие отрезки $CN$ и $C_1N_1$, параллельны. По условию $CN=C_1N_1$ (так как $CN=AM=A_1M_1=C_1N_1$). Рассмотрим четырехугольник $DNC_1N_1$. Он лежит в плоскости сечения, проходящего через параллельные прямые $DC$ и $D_1C_1$.Более строго, в параллелограмме $DCC_1D_1$ имеем $DD_1 \parallel CC_1$ и $DD_1=CC_1$. Векторно $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$. Также $\vec{DN} = \vec{MB}$ и $\vec{D_1N_1} = \vec{M_1B_1}$. Вектор $\vec{NN_1} = \vec{ND} + \vec{DD_1} + \vec{D_1N_1}$. Это сложно.Вернемся к $CNN_1C_1$. Так как $DCC_1D_1$ параллелограмм, то $\vec{DC} = \vec{D_1C_1}$ и $\vec{DD_1} = \vec{CC_1}$. Пусть $\vec{CN} = k \cdot \vec{CD}$ и $\vec{C_1N_1} = k \cdot \vec{C_1D_1}$ (поскольку $CN = C_1N_1$ и $CD = C_1D_1$, коэффициент $k$ одинаков). Тогда $\vec{NN_1} = \vec{NC} + \vec{CC_1} + \vec{C_1N_1} = -k\vec{CD} + \vec{CC_1} + k\vec{C_1D_1}$. Так как $\vec{CD} = \vec{C_1D_1}$, то $\vec{NN_1} = \vec{CC_1}$. Отсюда следует, что $NN_1 \parallel CC_1$ и $NN_1 = CC_1$.

В исходном параллелепипеде все боковые ребра параллельны и равны: $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1$ и $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1$.Из доказанного выше ($MM_1 \parallel AA_1$, $MM_1 = AA_1$ и $NN_1 \parallel CC_1$, $NN_1 = CC_1$) следует, что все отрезки $MM_1, BB_1, NN_1, DD_1$ параллельны друг другу и равны по длине.

Теперь мы можем доказать, что боковые грани являются параллелограммами:

• Грань $MBB_1M_1$: стороны $MM_1$ и $BB_1$ параллельны и равны. Следовательно, $MBB_1M_1$ — параллелограмм.
• Грань $BNN_1B_1$: стороны $BB_1$ и $NN_1$ параллельны и равны. Следовательно, $BNN_1B_1$ — параллелограмм.
• Грань $NDD_1N_1$: стороны $NN_1$ и $DD_1$ параллельны и равны. Следовательно, $NDD_1N_1$ — параллелограмм.
• Грань $DMM_1D_1$: стороны $DD_1$ и $MM_1$ параллельны и равны. Следовательно, $DMM_1D_1$ — параллелограмм.

Заключение

Поскольку все шесть граней многогранника $MBNDM_1B_1N_1D_1$ (основания $MBND$, $M_1B_1N_1D_1$ и боковые грани $MBB_1M_1$, $BNN_1B_1$, $NDD_1N_1$, $DMM_1D_1$) являются параллелограммами, данный многогранник является параллелепипедом по определению.Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $MBNDM_1B_1N_1D_1$ является параллелепипедом, доказано.