Номер 77, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 77, страница 32.

77. Сумма всех рёбер параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если ABBC = 45, BCBB₁ = 56.

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ имеет 12 ребер, которые можно разделить на три группы по четыре равных и параллельных ребра. Обозначим длины этих ребер, выходящих из одной вершины (например, B), как $AB$, $BC$ и $BB_1$.

Сумма длин всех ребер параллелепипеда вычисляется по формуле: $L = 4 \cdot (AB + BC + BB_1)$. По условию задачи, $L = 120$ см. Следовательно, мы можем составить уравнение: $4 \cdot (AB + BC + BB_1) = 120$ Разделив обе части на 4, получим сумму длин трех измерений параллелепипеда: $AB + BC + BB_1 = \frac{120}{4} = 30$ см.

Найдем соотношение между ребрами. Нам даны два отношения: $\frac{AB}{BC} = \frac{4}{5}$ и $\frac{BC}{BB_1} = \frac{5}{6}$. Заметим, что в обоих отношениях присутствует ребро $BC$ и его относительное значение равно 5. Это позволяет нам установить общее соотношение длин всех трех ребер: $AB : BC : BB_1 = 4 : 5 : 6$.

Введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда длины ребер можно выразить через $k$: $AB = 4k$ $BC = 5k$ $BB_1 = 6k$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы ребер: $AB + BC + BB_1 = 30$ $4k + 5k + 6k = 30$ $15k = 30$ $k = \frac{30}{15} = 2$.

Теперь, зная значение $k$, мы можем найти длины каждого ребра. Длина ребра $AB$ и равных ему ребер ($CD, A_1B_1, C_1D_1$): $AB = 4k = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Длина ребра $BC$ и равных ему ребер ($AD, B_1C_1, A_1D_1$): $BC = 5k = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Длина ребра $BB_1$ и равных ему ребер ($AA_1, CC_1, DD_1$): $BB_1 = 6k = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: длины ребер параллелепипеда равны 8 см, 10 см и 12 см.