Номер 81, страница 32 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

81. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте точки М и N соответственно на рёбрах BB₁ и CC₁. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC; б) прямой AM с плоскостью А₁B₁C₁.

Сначала изобразим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и отметим на ребрах $BB_1$ и $CC_1$ точки $M$ и $N$ соответственно, как указано в условии.

а) Построение точки пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$.

1. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, нужно найти прямую, лежащую в этой плоскости, с которой пересекается данная прямая.

2. Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $BB_1$ и $CC_1$. Эти ребра принадлежат боковой грани $BCC_1B_1$. Следовательно, вся прямая $MN$ лежит в плоскости этой грани, то есть $MN \subset (BCC_1)$.

3. Плоскость основания $ABC$ и плоскость боковой грани $BCC_1$ пересекаются по прямой $BC$.

4. Точка пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$ должна лежать на линии пересечения плоскостей, в которых они находятся. То есть, искомая точка является точкой пересечения прямых $MN$ и $BC$.

5. Прямые $MN$ и $BC$ обе лежат в плоскости $BCC_1$. В общем случае они не параллельны, а значит, пересекаются. Для построения их точки пересечения $P$ достаточно продлить отрезки $MN$ и $BC$ до их пересечения.

6. Точка $P = MN \cap BC$. Так как $P \in MN$ и $P \in BC$, а $BC \subset (ABC)$, то точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомая точка – это точка пересечения прямых $MN$ и $BC$. Для ее построения необходимо продлить отрезки $MN$ и $BC$ в плоскости грани $BCC_1B_1$ до их пересечения.

б) Построение точки пересечения прямой $AM$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

1. Будем действовать по аналогии с пунктом а).

2. Точка $A$ и точка $M$ (лежащая на ребре $BB_1$) принадлежат передней грани $ABB_1A_1$. Следовательно, вся прямая $AM$ лежит в плоскости этой грани, то есть $AM \subset (ABB_1)$.

3. Плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1$ и плоскость передней грани $ABB_1$ пересекаются по прямой $A_1B_1$.

4. Искомая точка пересечения прямой $AM$ с плоскостью $A_1B_1C_1$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $A_1B_1$.

5. Прямые $AM$ и $A_1B_1$ обе лежат в плоскости $ABB_1$. В общем случае они не параллельны, значит, пересекаются. Для построения их точки пересечения $Q$ достаточно продлить отрезки $AM$ и $A_1B_1$ до их пересечения.

6. Точка $Q = AM \cap A_1B_1$. Так как $Q \in AM$ и $Q \in A_1B_1$, а $A_1B_1 \subset (A_1B_1C_1)$, то точка $Q$ является точкой пересечения прямой $AM$ с плоскостью $A_1B_1C_1$.

Ответ: Искомая точка – это точка пересечения прямых $AM$ и $A_1B_1$. Для ее построения необходимо продлить отрезки $AM$ и $A_1B_1$ в плоскости грани $ABB_1A_1$ до их пересечения.