Номер 75, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 75, страница 31.

75. Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, МА и МK, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см².

а)

Для построения сечения тетраэдра KLMN плоскостью, проходящей через ребро KL и середину A ребра MN, необходимо выполнить следующие действия:
1. Найти середину ребра MN и обозначить ее точкой A.
2. Поскольку секущая плоскость проходит через ребро KL, то точки K и L уже принадлежат этой плоскости.
3. Плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой. В нашем случае это точки K, L и A.
4. Соединим эти точки отрезками, чтобы построить фигуру сечения. Отрезок KL уже является ребром тетраэдра. Соединим точку K с точкой A. Полученный отрезок KA лежит в плоскости грани KMN. Соединим точку L с точкой A. Полученный отрезок LA лежит в плоскости грани LMN.
В результате получаем треугольник KLA, который и является искомым сечением тетраэдра.

Ответ: Сечением является треугольник KLA.

б)

Сначала докажем, что плоскость, проходящая через точки E, O и F (плоскость EOF), параллельна плоскости LKA.
Рассмотрим треугольник LMA. По условию, E — середина отрезка LM, а O — середина отрезка MA. Следовательно, EO является средней линией треугольника LMA. По теореме о средней линии треугольника, прямая EO параллельна прямой LA ($EO \parallel LA$) и равна ее половине ($EO = \frac{1}{2} LA$).
Теперь рассмотрим треугольник MKA. По условию, O — середина отрезка MA, а F — середина отрезка MK. Следовательно, OF является средней линией треугольника MKA. По теореме о средней линии, прямая OF параллельна прямой KA ($OF \parallel KA$) и равна ее половине ($OF = \frac{1}{2} KA$).
Мы имеем две пересекающиеся прямые EO и OF в плоскости (EOF), которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым LA и KA в плоскости (LKA). Согласно признаку параллельности двух плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Таким образом, плоскость (EOF) параллельна плоскости (LKA).

Теперь найдем площадь треугольника EOF.
Из доказательства выше мы знаем, что $EO \parallel LA$ и $OF \parallel KA$.
Рассмотрим треугольник LMK. E — середина LM, а F — середина MK. Значит, EF является средней линией этого треугольника, и, следовательно, $EF \parallel LK$.
Поскольку стороны треугольника EOF соответственно параллельны сторонам треугольника LKA, эти треугольники подобны ($\triangle EOF \sim \triangle LKA$).
Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон. Из свойства средней линии мы установили, что:
$k = \frac{EO}{LA} = \frac{OF}{KA} = \frac{EF}{LK} = \frac{1}{2}$
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:
$\frac{S_{EOF}}{S_{LKA}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
По условию, площадь треугольника LKA равна $S_{LKA} = 24 \text{ см}^2$. Используя это значение, найдем площадь треугольника EOF:
$S_{EOF} = S_{LKA} \cdot \frac{1}{4} = 24 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{4} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.