Номер 69, страница 31 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

69. Через середины рёбер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Пусть дан тетраэдр $SABC$. Обозначим середину ребра $AB$ как точку $M$, а середину ребра $BC$ как точку $N$. Через точки $M$ и $N$ проведена секущая плоскость, назовем ее $\alpha$, которая по условию параллельна ребру $SB$. Требуется доказать, что линии пересечения этой плоскости с гранями $SAB$ и $SBC$ параллельны.

1. Рассмотрим пересечение секущей плоскости $\alpha$ с гранью $SAB$. Грань $SAB$ является плоскостью. Точка $M$, как середина ребра $AB$, принадлежит этой грани. По построению, точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $(SAB)$ пересекаются, и точка $M$ лежит на их линии пересечения.

По условию задачи, плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SB$, а прямая $SB$ лежит в плоскости $(SAB)$. Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если плоскость ($\alpha$) пересекает другую плоскость ($(SAB)$) и при этом параллельна некоторой прямой ($SB$), лежащей во второй плоскости, то линия пересечения плоскостей будет параллельна этой прямой.

Обозначим линию пересечения плоскости $\alpha$ и грани $SAB$ как $l_1$. Согласно теореме, прямая $l_1$ параллельна прямой $SB$. Таким образом, мы установили, что $l_1 \parallel SB$.

2. Аналогично рассмотрим пересечение секущей плоскости $\alpha$ с гранью $SBC$. Грань $SBC$ также является плоскостью. Точка $N$, как середина ребра $BC$, принадлежит этой грани. По построению, точка $N$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Значит, плоскости $\alpha$ и $(SBC)$ пересекаются, и точка $N$ лежит на их линии пересечения.

Обозначим линию пересечения плоскости $\alpha$ и грани $SBC$ как $l_2$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна прямой $SB$, а прямая $SB$ лежит в плоскости $(SBC)$, то, применяя ту же самую теорему, мы заключаем, что линия их пересечения $l_2$ параллельна прямой $SB$. Таким образом, мы установили, что $l_2 \parallel SB$.

3. В результате мы получили, что линия пересечения $l_1$ плоскости $\alpha$ с гранью $SAB$ параллельна ребру $SB$, и линия пересечения $l_2$ плоскости $\alpha$ с гранью $SBC$ также параллельна ребру $SB$.

Поскольку обе прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны одной и той же прямой $SB$, то по теореме о двух прямых, параллельных третьей, они параллельны и друг другу. То есть, $l_1 \parallel l_2$.

Таким образом, доказано, что секущая плоскость пересекает грани $SAB$ и $SBC$ по параллельным прямым.

Ответ: Утверждение доказано.