Номер 91, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

91. Через каждую из двух параллельных прямых а и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым а и b.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Точка $M$ не лежит в плоскости, определяемой прямыми $a$ и $b$.
Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$ и точку $M$.
Плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$ и точку $M$.

Доказать:

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой, параллельной прямым $a$ и $b$.

Доказательство:

1. Так как точка $M$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$ по условию, то эти две плоскости имеют общую точку. Следовательно, они пересекаются по прямой. Обозначим эту прямую пересечения как $c$. Таким образом, $c = \alpha \cap \beta$, и точка $M$ лежит на прямой $c$ ($M \in c$).

2. Докажем, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$.
Предположим обратное: прямая $a$ не параллельна плоскости $\beta$, а значит, пересекает ее в некоторой точке $K$.
Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то точка пересечения $K$ также принадлежит плоскости $\alpha$ ($K \in \alpha$).
По нашему предположению, точка $K$ также принадлежит плоскости $\beta$ ($K \in \beta$).
Следовательно, точка $K$ принадлежит линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то есть прямой $c$. Но это не помогает доказать параллельность.

Давайте используем другой подход для доказательства, что $a \parallel \beta$.
Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ содержит прямую $b$. По условию $a \parallel b$.
Докажем от противного, что $a$ не пересекает $\beta$.
Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\beta$ в некоторой точке $P$.
Поскольку $P \in a$, а $a \subset \alpha$, то $P \in \alpha$.
Так как $P \in \beta$, то точка $P$ принадлежит обеим плоскостям. Значит, она лежит на их линии пересечения $c$.
Теперь рассмотрим плоскость $\gamma$, которую определяют параллельные прямые $a$ и $b$. Точка $M$ не лежит в этой плоскости ($M \notin \gamma$).
Прямая $a$ лежит в плоскости $\gamma$. Если точка $P$ лежит на прямой $a$, то $P$ также лежит в плоскости $\gamma$ ($P \in \gamma$).
Плоскость $\beta$ проходит через прямую $b$ и точку $M$. Так как $b \subset \gamma$ и $M \notin \gamma$, то плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\gamma$ по прямой $b$.
Мы предположили, что $P \in \beta$. Также мы знаем, что $P \in \gamma$. Следовательно, точка $P$ должна лежать на линии пересечения плоскостей $\beta$ и $\gamma$, то есть на прямой $b$.
Итак, мы получили, что точка $P$ принадлежит и прямой $a$, и прямой $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $P$. Но это противоречит условию, что $a \parallel b$.
Следовательно, наше предположение неверно. Прямая $a$ не может пересекать плоскость $\beta$, а значит, $a \parallel \beta$.

3. Теперь мы имеем:
- Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$.
- Прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).
- Плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $\beta$ по прямой $c$.
По теореме о линии пересечения плоскостей (если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой), следует, что $c \parallel a$.

4. По условию задачи $a \parallel b$. Мы доказали, что $c \parallel a$. Из свойства транзитивности параллельных прямых следует, что $c \parallel b$.

Таким образом, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$, которая параллельна и прямой $a$, и прямой $b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Линия пересечения двух данных плоскостей параллельна прямым $a$ и $b$ в соответствии с теоремой о пересечении плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости.