Номер 95, страница 34 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

95. Прямая а параллельна плоскости α. Докажите, что если плоскость β пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость α.

Доказательство

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Сформулируем условия задачи и то, что требуется доказать:
Дано: Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ (что записывается как $a \parallel \alpha$). Плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$ в единственной точке $M$ (то есть $a \cap \beta = \{M\}$).
Доказать: Плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$.

Ход доказательства:

1. Предположим обратное тому, что нужно доказать. Допустим, плоскость $\beta$ не пересекает плоскость $\alpha$. В пространстве две различные плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Следовательно, наше предположение состоит в том, что плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$: $\beta \parallel \alpha$.

2. Теперь рассмотрим следствия из этого предположения в совокупности с исходными данными. Мы имеем:
- $a \parallel \alpha$ (по условию задачи).
- $\beta \parallel \alpha$ (наше предположение).

3. Воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если прямая ($a$) параллельна некоторой плоскости ($\alpha$), то она либо лежит в любой другой плоскости ($\beta$), параллельной данной, либо параллельна ей.
Применяя эту теорему к нашей ситуации (где $a \parallel \alpha$ и мы предположили, что $\beta \parallel \alpha$), получаем, что для прямой $a$ и плоскости $\beta$ возможны только два варианта взаимного расположения:
а) прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$);
б) прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

4. Однако по условию задачи плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$. По определению это означает, что прямая $a$ и плоскость $\beta$ имеют ровно одну общую точку $M$.

5. Сравним этот факт с выводами, полученными в пункте 3.
Вариант (а), $a \subset \beta$, означает, что у прямой и плоскости бесконечно много общих точек (вся прямая $a$).
Вариант (б), $a \parallel \beta$, означает, что у прямой и плоскости нет общих точек.
Оба этих варианта противоречат условию задачи о наличии ровно одной общей точки.

6. Мы пришли к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, было неверным.

7. Если две плоскости не параллельны, они должны пересекаться. Таким образом, плоскость $\beta$ пересекает плоскость $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, а плоскость $\beta$ пересекает прямую $a$, то плоскость $\beta$ обязательно пересекает и плоскость $\alpha$.