Номер 102, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

102. Докажите, что плоскость α, проходящая через середины двух рёбер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью α, если длины всех рёбер тетраэдра равны 20 см.

Докажите, что плоскость ?, проходящая через середины двух рёбер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания.

Пусть дан тетраэдр $DABC$, где $ABC$ – основание, а $D$ – вершина, не принадлежащая основанию. Пусть $M$ – середина ребра основания $AB$, а $N$ – середина ребра основания $BC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $D$, $M$ и $N$. Требуется доказать, что плоскость $\alpha$ параллельна третьему ребру основания – $AC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в основании тетраэдра. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ этого треугольника. По свойству средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен третьей стороне $AC$ и равен ее половине. Таким образом, $MN \parallel AC$.

Прямая $MN$ лежит в плоскости сечения $\alpha$ (плоскости $DMN$), так как обе точки $M$ и $N$ принадлежат этой плоскости. Прямая $AC$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Так как $AC \parallel MN$ и $MN \subset \alpha$, то прямая $AC$ параллельна плоскости $\alpha$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью ?, если длины всех рёбер тетраэдра равны 20 см.

По условию, все рёбра тетраэдра равны 20 см. Это означает, что тетраэдр является правильным, и все его грани – равносторонние треугольники со стороной $a = 20$ см. Сечением является треугольник $DMN$. Для нахождения его периметра и площади найдем длины его сторон $DM$, $DN$ и $MN$.

1. Найдём длину стороны $MN$. Как было показано выше, $MN$ – средняя линия в треугольнике $ABC$. $MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

2. Найдём длину стороны $DM$. Рассмотрим грань $DAB$. Это равносторонний треугольник со стороной 20 см. $M$ – середина стороны $AB$, следовательно, $DM$ является медианой этого треугольника. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой. Длину высоты $h$ в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $DM = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см.

3. Найдём длину стороны $DN$. Рассмотрим грань $DCB$. Аналогично, это равносторонний треугольник, а $DN$ – его медиана и высота. $DN = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см.

Итак, сечение $DMN$ – это равнобедренный треугольник с основанием $MN = 10$ см и боковыми сторонами $DM = DN = 10\sqrt{3}$ см.

4. Вычислим периметр треугольника $DMN$: $P_{DMN} = DM + DN + MN = 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} + 10 = 20\sqrt{3} + 10 = 10(2\sqrt{3} + 1)$ см.

5. Вычислим площадь треугольника $DMN$. Для этого проведём высоту $DH$ к основанию $MN$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также и медианой, поэтому $H$ – середина $MN$. $MH = \frac{MN}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DMH$. По теореме Пифагора: $DH^2 = DM^2 - MH^2$ $DH^2 = (10\sqrt{3})^2 - 5^2 = 100 \cdot 3 - 25 = 300 - 25 = 275$ $DH = \sqrt{275} = \sqrt{25 \cdot 11} = 5\sqrt{11}$ см.

Теперь найдём площадь треугольника $DMN$: $S_{DMN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{11} = 25\sqrt{11}$ см?.

Ответ: Периметр сечения равен $10(2\sqrt{3} + 1)$ см, а площадь сечения равна $25\sqrt{11}$ см?.