Номер 103, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед, дополнительные задачи. Глава 1. Параллельность прямых и плоскостей - номер 103, страница 35.

103. На рёбрах DA, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р так, что DM : MA = DN : NB = DP : PC. Докажите, что плоскости MNP и ABC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ABC равна 10 см² и DM : МА = 2 : 1.

Доказательство параллельности плоскостей MNP и ABC

Рассмотрим треугольник $DAB$. По условию задачи дано отношение $DM:MA = DN:NB$. Это означает, что точки $M$ и $N$ делят стороны $DA$ и $DB$ в одинаковом отношении, считая от общей вершины $D$. Следовательно, $\frac{DM}{DA} = \frac{DN}{DB}$. Согласно обратной теореме Фалеса (или по признаку подобия треугольников), прямая $MN$ параллельна прямой $AB$.

Аналогично рассмотрим треугольник $DBC$. По условию $DN:NB = DP:PC$, из чего следует, что $\frac{DN}{DB} = \frac{DP}{DC}$. По той же теореме прямая $NP$ параллельна прямой $BC$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые $MN$ и $NP$ в плоскости $MNP$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $AB$ и $BC$ в плоскости $ABC$. По признаку параллельности двух плоскостей, плоскость $MNP$ параллельна плоскости $ABC$.

Ответ: Параллельность плоскостей доказана.

Нахождение площади треугольника MNP

Поскольку плоскости $(MNP)$ и $(ABC)$ параллельны, то треугольник $MNP$ подобен треугольнику $ABC$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия $k$:

$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}} = k^2$

Коэффициент подобия $k$ можно найти из подобия треугольников $DMN$ и $DAB$ (они подобны, так как $MN || AB$). Коэффициент подобия равен отношению их соответственных сторон: $k = \frac{DM}{DA}$.

По условию задачи $DM:MA = 2:1$. Пусть $MA = x$, тогда $DM = 2x$. Длина всего ребра $DA$ равна $DA = DM + MA = 2x + x = 3x$.

Теперь найдем коэффициент подобия $k$:

$k = \frac{DM}{DA} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

Подставим значение коэффициента подобия в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

Площадь треугольника $ABC$ по условию равна $S_{ABC} = 10 \text{ см}^2$. Теперь мы можем найти площадь треугольника $MNP$:

$S_{MNP} = S_{ABC} \cdot \frac{4}{9} = 10 \cdot \frac{4}{9} = \frac{40}{9} \text{ см}^2$

Ответ: $\frac{40}{9} \text{ см}^2$.