Номер 106, страница 35 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

106. Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку K на ребре DC и точки М и N граней ABC и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Для построения сечения тетраэдра $DABC$ плоскостью $(MNK)$ воспользуемся методом следов. Построение выполняется в несколько шагов.

1. Построение следа секущей плоскости на грани $ACD$

   Точки $N$ и $K$ лежат в плоскости грани $(ACD)$ (точка $N$ дана в грани $ACD$, а точка $K$ — на ребре $DC$ этой грани) и одновременно в секущей плоскости $(MNK)$. Следовательно, прямая $NK$ является линией пересечения этих плоскостей (следом). Проведём прямую $NK$. Пусть она пересекает ребро $AD$ в точке $Q$. Отрезок $QK$ является стороной искомого сечения, лежащей в грани $ACD$.

2. Построение следа секущей плоскости на грани $ABC$

   Для построения следа на грани $(ABC)$ нам необходима ещё одна точка в этой плоскости, принадлежащая секущей плоскости $(MNK)$. Мы можем найти её как точку пересечения уже построенной прямой $NK$ с прямой $AC$, так как обе эти прямые лежат в одной плоскости $(ACD)$. Обозначим эту вспомогательную точку как $P$. Итак, $P = NK \cap AC$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $AC$, она принадлежит и плоскости $(ABC)$.

   Теперь в плоскости основания $(ABC)$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: точка $M$ (из условия) и точка $P$ (по построению). Прямая, проходящая через точки $M$ и $P$, является следом секущей плоскости на плоскости $(ABC)$. Проведём прямую $MP$. Пусть она пересекает рёбра $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Отрезок $EF$ — это ещё одна сторона искомого сечения.

3. Завершение построения сечения

   К этому моменту мы определили четыре вершины сечения, лежащие на рёбрах тетраэдра: $Q$ на $AD$, $K$ на $DC$, $F$ на $BC$ и $E$ на $AB$. Чтобы получить замкнутый многоугольник сечения, необходимо соединить оставшиеся пары вершин, которые лежат в одних гранях:

   • Точки $Q$ и $E$ лежат в грани $ABD$. Соединяем их и получаем сторону сечения $QE$.
   • Точки $F$ и $K$ лежат в грани $BCD$. Соединяем их и получаем сторону сечения $FK$.

   В результате получаем замкнутый четырёхугольник $QEFK$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение — это, в общем случае, четырёхугольник $QEFK$. Его построение выполняется следующим образом:
1. В плоскости $(ACD)$ строим прямую $NK$ и находим точку её пересечения с ребром $AD$, обозначаем её $Q$.
2. Находим вспомогательную точку $P$ как пересечение прямых $NK$ и $AC$.
3. В плоскости $(ABC)$ строим прямую $MP$ и находим точки её пересечения с рёбрами $AB$ и $BC$, обозначаем их $E$ и $F$ соответственно.
4. Последовательно соединяем точки $Q, E, F, K$, лежащие на рёбрах тетраэдра, и получаем сечение $QEFK$.